高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第二章 函数2 函数2.1 函数概念教案

《函数概念》

函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，更是从“变量说”到“对应说”，这是对函数本质特征的进一步认识，也是学生认识上的一次飞跃。这一章内容渗透了函数的思想，集合的思想以及数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响。

概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课从集合间的对应来描绘函数概念，起到了上承集合，下引函数的作用。也为进一步学习函数这一章的其它内容提供了方法和依据。

【知识与能力目标】

理解函数的概念，会用函数的定义判断函数，会求一些最基本的函数的定义域、值域。

【过程与方法目标】

通过对实际问题分析、抽象与概括，培养学生抽象、概括、归纳知识以及逻辑思维、建模等方面的能力。

【情感态度价值观目标】

通过对函数概念形成的探究过程，培养学生发现问题，探索问题，不断超越的创新品质。

【教学重点】

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；会求一些简单函数的定义域与值域。

【教学难点】

符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

情景1：提供一张表格，把本班中考得分前10名的情况填入表格，学生提供分数。

情景2：西康高速汽车的行驶速度为80千米/小时，汽车行驶的距离y与行驶时间x之间的关系式为：y=80x

情景3：安康市一天24小时内的气温随时间变化图：

提问（1）：这三个例子中都涉及到了几个变化的量？（两个）

提问（2）：当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？（它的值也随之唯一确定）

提问（3）：这样的关系在初中称之为什么？（函数）引出课题

[设计意图]在创设本课开头情境1、2的时候，我并没有运用书中的前两个例子。第一个例子我改成提供给学生一张中考成绩统计单。是为了创设和学生生活相近的情境，从而引起学生的兴趣，调节课堂气氛，引人入胜，第二个例子我改成一道简单的速度与时间问题，是因为学生对重力加速度的问题还不是很熟悉。同时这两个例子并没有改变课本用三个实例分别代表三种表示函数方法的意图。这样学生可以从熟悉的情景引入，提高学生的参与程度。符合学生的认知特点。

二、研探新知，建构概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。

记作：

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）。

注意：

 “”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；

 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。

2．  构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的定义

条件：a<b(a，b为实数)。

结论：

(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为

(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为

(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，

数轴表示为或

2．无穷大区间

(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)。

(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”。

(3)无穷大区间的表示：

三、质疑答辩，发展思维

例1.下列对应关系是否为A到B的函数。

(1)＝；

(2) ；

(3)；

(4)

【精彩点拨】　解答本题可从函数的定义入手，即对于A中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y值与之对应。

【尝试解答】　　(1)A中的元素－1在B中没有对应元素，故不是A到B的函数。

(2)对于集合A中任意一个正数，在集合B中有两个元素±与之对应，故不是A到B的函数。

(3)集合A中元素1在B中没有对应元素，故不是从A到B的函数。

(4)集合A中的任意一个元素，按照对应关系f：y＝x，在集合B中都有唯一一个确定的实数x与之对应，故是从集合A到B的函数。

例2.求下列函数的定义域：

(1)y＝－；      (2)y＝ 。

【精彩点拨】　求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组。

【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足    即

所以函数的定义域为。

(2)要使函数有意义，必须满足，

。

∴函数的定义域为。

巩固练习：求下列函数的定义域，结果用区间表示：

(1)y＝ ；

(2)y＝ ；(3)y＝ 。

【解】　(1)要使函数有意义，则有

∴函数的定义域是。

(2)要使函数有意义，必须，

∴函数的定义域是。

(3)要使函数有意义，则有     得                

故函数的定义域是{5}。

例3.已知f(x)＝ 。

(1)求的值；   (2)求的值；   (3)求函数的值域。                          

【精彩点拨】　(1)将x＝2分别代入f(x)与g(x)的函数表达式中求；(2)先求，再求 ；(3)利用 求值域。

【尝试解答】　　(1)∵f(x)＝，

∴

又，

∴.

(2)，

(3)，

∴值域为

四、课堂小结

函数模型应用思想；函数概念；函数的三要素；区间表示集合。

五、作业布置

1.  下列关于函数与区间的说法正确的是(　　)

A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了

C．数集都能用区间表示

D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

【解析】　结合函数的定义，A项值域不可能是空集，B项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C项离散的数集不能用区间表示，正确答案D。

【答案】　D

2.  下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　　)

【解析】　A、B、C中任意一个x的值，都有唯一的y值对应，是函数关系，D中的一个x值，如x＝3时，有两个y值与之对应，故不是函数。

【答案】　D

3.  已知f(x)＝x－，则f(2)＝________。

【解析】　f(2)＝2－＝。

【答案】　

4.  函数y＝的定义域为________。

【解析】　要使函数有意义，则          解得

故函数的定义域为。

【答案】　

5.  求函数的值域。

【解】　，

又，

，

，

∴所求函数的值域为。

6.已知函数f(x)＝。

(1)求；(2)求；(3)求的值域。

【解】　f(x)＝，

(1)f(2)＝。

(2)f(1)＝，f[f(1)]＝f()＝

(3)f(x)＝＝＝1－(x≠－2)，

∵≠0，∴f(x)的值域为 。

略。