高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征教学设计

《样本的数字特征》教学设计

1.握基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点．

2.能准确地计算出样本的数字特征．

3.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）；建立适当的数学模型，从不同的角度进行逻辑推理，从而作出合理的解释与决策；认识统计的作用，感受统计在实际问题中的应用价值

4.经历样本的数字特征的生成、处理过程，加强数学运算能力的同时，在实际问题中会用样本的数字特征估计总体的数字特征，领悟“用数据说话”的统计思想．

重点：用样本数字特征估计总体数字特征，初步掌握样本估计总体的思想．

难点：多角度认识样本数字特征，解决简单的实际问题．

一、新课导入

情境： 在智慧城市建设领域，科大讯飞秉持“用A．I．建设美好城市”的使命，打造城市超脑赋能城市智慧化发展．铜陵城市超脑基于互联网、物联网的基础设施，在统一的时空坐标体系上汇聚城市数据，利用人工智能发掘数据关联关系，开展即时分析和模拟仿真，进而促进物理现实城市的公共资源优化配置、社会管理精细有序、居民生活质量提升、城市高效运行和可持续发展．

说一说：超脑需要大数据，才能做出准确恰当的判断辅助生活，那生活中还遇到其他的数据应用实例么？

答：天气、股市指数、乒乓球运动员的统计排名等．

思考：什么是统计呢？

统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科．在终极的分析中，全部知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有判断都是统计．─劳（Calyampudi Radhakrishna Rao，1920─）

二、新知探究

问题１：前几节我们学习统计过程的哪些内容？

答：

用样本的分布估计总体分布，那么样本就要代表总体，即样本的分布与总体分布近似相同．根据初中已经学过的知识，当样本数据确定后，就可以计算这些数据的平均数、中位数、极差、方差等．它们从不同的角度反映了数据的数字特征．

实例回顾．

某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分（单位：分）情况如表:

求在该赛季比赛中，这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差．

解：平均数（分）；

中位数分，众数分、分，极差：（分）；

方差

标准差分．

深化概念

1．平均数、众数、中位数、极差的定义

（1）平均数：若个数分别为，则称为这个数的平均数．

（2）众数：一组数据中重复出现次数最多的数．

（3）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数．

（4）极差：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．(表示这组数据之间的差异情况)

2．方差：，其中，是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．

3．标准差：

方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小:方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小、方差的取值范围是[0，+oo）．

问题2：这几个数字特征的具体含义是什么？

答：平均数是指这组数据的平均值．一般地，将这组数据按从小到大的顺序排列后，“中间”的那个数据为这组数据的中位数，它使数据被分成的两部分的数据量是一样的．众数是指这组数据中出现次数最多的数据．在统计中，平均数是最常用的量．但有时候，如数据中个别数据特别大或特别小时，用中位数会更合理． 极差和方差、标准差都刻画数据的离散程度．极差是数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据．方差与标准差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．

问题3：为什么有了方差还要出现标准差呢？

答：由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．

统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科．然而，我们已经掌握了用科学的方法收集、整理数据，接下来我们一起来通过几个实例体验怎样分析数据，提取有用信息，帮助我们作出科学的推断与决策．

实例分析

在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港帆板运动员李丽珊，以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破．这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？在帆板比赛中，成绩以低分为优胜，共赛11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．

此次比赛前7场比赛结束后，排名前5位的选手积分如表：

根据前7场的比赛结果，能否预测谁将获得最后胜利？

问题4：预测胜利需要那些数据？

答：分别计算5位运动员前7场比赛积分的平均数和标准差，作为判断各运动员比赛的成绩及稳定情况的依据，结果如表．

问题5：为什么要通过前7场的比赛结果来预测？用前3场的比赛成绩来预测可否？用11场比赛的成绩来预测可否？

答：选取样本应具有合理性和代表性，7场赛程过了一大半，具备预测性；前3场的样本代表性不足，预测的结果可能会有较大的误差；11场就不是预测了，结果已经确定．

问题6：根据数据，我们可以得到什么样的预测结果？

答：从表中可以看出：李丽珊的平均得分及得分标准差都比其他运动员的小，也就是说，在前7场的比赛过程中，她的成绩最为优异，而且表现也最为稳定．

尽管此时还有4场比赛没有进行，但可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同（实际情况也确实如此），因而可以把前7场比赛的成绩作为总体的一组样本，并由此估计每位运动员最后比赛的成绩．所以，有足够的理由相信李丽珊在后面的4场比赛中会继续保持优异而稳定的成绩，获得最后的冠军．

根据运动员的现有比赛成绩，从平均数和标准差两个方面进行分析，对运动员的运动成绩进行预测，是数据分析素养的具体应用．当然，事实也进一步验证了这一预测，李丽珊正是凭着自己优异而稳定的表现，成为中国香港首位奥运金牌得主．

有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩（单位：环）如表

现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，如何进行选拔？

分析要从两名运动员中选拔一人参加比赛，首先应该根据不同的要求和状况确定选拔的标准，然后再根据标准和运动员的成绩进行决策．

当标准不同时，人们的决策会随之发生改变．

情境1如果10次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准？

在情境1中，教练员可能会制订这样的标准，即标准1：以两名运动员的最后一次射击成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛．据此，显然应选择乙参加比赛．

情境2如果这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎样制订选拔标准？

在情境2中，教练员可能会制订这样的标准，即标准2：以两名运动员10次射击成绩的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛．甲射击成绩的众数是9环，乙射击成绩的众数是10环．据此，选择乙参加比赛．

教练员也可能制订标准3：以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选择中位数较高者参赛．甲射击成绩的中位数是9环，乙射击成绩的中位数是8.5环．据此，选择甲参加比赛．

教练员还可能制订标准4：以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选择平均数较高者参赛．甲射击成绩的平均数是8.5环，乙射击成绩的平均数是8.6环．据此，选择乙参加比赛．

情境3教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军．因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参赛．此时，通常会再提出其他的要求（即使运动员的成绩相差很大，也可以提出新的要求）．例如，分别按照数据的极差、标准差的大小给出标准．

标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标准差越小成绩越稳定，甲射击成绩的标准差0．92环，乙射击成绩的标准差1.28环据此，选择甲参加比赛．

从上述问题可以看出，根据问题的实际背景，利用数据的数字特征，可以帮助人们进行决策，从而真正发挥数据分析的作用．

值得注意的是，在这里，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策．至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．

例如，甲、乙两名运动员，后者发挥极不稳定，有时成绩很好，有冲击金牌的可能，但有时又会很差，可能拿不到名次；前者没有冲击金牌的能力，但他成绩极其稳定，如果让他参加比赛，保证能拿到一块铜牌．在这种情况下，如果运动队要先保奖牌，那么甲去参赛应该是更好的选择；反之，如果运动队已经得到了不少银牌和铜牌，最想要的是拿到一块金牌，这时可能就应该让乙参加比赛．

用样本的数字特征估计总体的数字特征时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以很好地反映总体的信息．虽然从样本数据得到的数字特征并不是总体真正的数字特征，只是总体数字特征的一个估计，但这种估计是合理的．样本容量越大，样本所包含的总体信息就越多，估计的合理性就越充分．

三、应用举例

例1： 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(　　)

A．平均数　B．众数     C．中位数  D．方差

解：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．答案：C

例2：一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：

经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由．

解：从不同的角度分析如下：

①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些．

②s＝×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172．同理得s＝256．因为s＜s，所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定．

③甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人，从这一角度看，甲组成绩总体较好．

④从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于90分的有20人，乙组成绩大于或等于90分的有24人，所以乙组成绩在高分段的人数多．同时，乙组满分比甲组多6人，从这一角度看，乙组成绩较好．

方法归纳

用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值．在实际应用中，需先计算平均数分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究样本数据的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明样本数据分散性大，方差小说明样本数据分散性小或者样本数据集中、稳定．

四、课堂练习

1．某鞋店试销一款新女鞋，销售情况见下表：

鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41

数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2

如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(　　)

A．平均数  B．众数   C．中位数  D．方差

2． 甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

参考答案:

1.  B

解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．

2.       见解析

解析：(1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

五、课堂小结

1.样本数字特征：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差．

2.用样本估计总体的数字特征．

3.统计的观念．

六、布置作业

教材第169页，练习第1题．