8.4机械能守恒定律-高一物理同步精品讲义（人教必修第二册 ）

第八章 机械能守恒定律

第4课  机械能守恒定律

知识点01  追寻守恒量

伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示．

将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点．这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的．

【即学即练1】如图所示，一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动，记住它向右能够达到的最大高度，然后用一把直尺在P点挡住悬线，继续观察之后小球的摆动情况并分析，下列结论中正确的是(　　)

A．在P点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显低于没放直尺时到达的高度

B．在P点放置直尺后，悬线向右摆动的最大高度明显高于没放直尺时到达的高度

C．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度变大

D．悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球加速度变大

【答案】　D

【解析】小球从A点开始摆动，在P点挡住摆线后，小球能继续运动，在整个过程中机械能的总量保持不变，机械能是守恒的，小球能上升到原来的高度，故A、B错误；小球到达最低点时水平方向不受力，则悬线在P点与直尺碰撞前、后的瞬间相比，小球速度大小不变，而半径变小，根据a＝可知，小球加速度变大，故C错误，D正确．

知识点02  动能与势能的相互转化

1．重力势能与动能的转化

只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．

2．弹性势能与动能的转化

只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．

3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．

【即学即练2】把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．松手后，小球从A到B再到C的过程中，忽略弹簧的质量和空气阻力，下列分析正确的是(　　)

A．小球处于A位置时小球的机械能最小

B．小球处于B位置时小球的机械能最小

C．小球处于C位置时小球的机械能最小

D．小球处于A、B、C三个位置时小球的机械能一样大

【答案】　A

【解析】对于系统而言，只有重力和弹簧弹力做功，动能、重力势能、弹性势能相互转化，系统机械能守恒，所以小球处于A、B、C三个位置时系统机械能一样大；而对于小球而言，在A到B的过程中，弹簧对小球做正功，弹簧弹性势能减小，故小球机械能增加，B到C过程中小球只有重力做功，小球机械能不变，所以小球在A位置机械能最小，B、C位置小球机械能一样大，故A正确．

知识点03  机械能守恒定律

1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．

2．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.

3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．

【即学即练3】如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后的物体以速度vt落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能的参考面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)

A．物体落到海平面时的重力势能为mgh

B．物体在海平面上的机械能为mv

C．物体在海平面上的动能为mv－mgh

D．物体在海平面上的机械能为mv

【答案】　D

【解析】以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故A错误；物体在海平面上的机械能为 E＝mv－mgh，故B错误；物体运动的过程中，只有重力对物体做功，物体的机械能守恒，则mv＝Ek＋(－mgh)，得物体在海平面上的动能为 Ek＝mv＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为mv，所以物体在海平面时的机械能也为mv，故D正确．

考法01  对机械能守恒定律的理解和判断

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．

(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．

(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．

(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．

注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．

2．判断机械能守恒的方法

(1)做功分析法(常用于单个物体)

(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)

(3)机械能的定义法

机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．

【典例1】如图所示的四种情景中，属于重力势能转化为动能的是(　　)

A．(a)图运动员把弯弓拉开将箭射出

B．(b)图跳伞运动员匀速下落

C．(c)图跳水运动员从空中下落

D．(d)图运动员骑自行车冲向坡顶

【答案】　C

【解析】

运动员把弯弓拉开将箭射出，是弹性势能转化为动能的过程，故A错误；跳伞运动员匀速下落，质量不变，速度不变，动能不变，高度变小，重力势能减小，所以重力势能转化为其他形式的能，故B错误；跳水运动员从空中下落，质量不变，速度增大，动能增大，高度减小，重力势能减小，此过程中，重力势能转化为动能，故C正确；运动员骑自行车冲向坡顶，运动员和自行车的质量不变，速度减小，动能减小，高度增大，重力势能增大，此过程中，动能转化为重力势能，故D错误．

考法02  机械能守恒定律的应用

1．机械能守恒定律的不同表达式

2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤

(1)根据题意选取研究对象；

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能．

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．

【典例2】某省青少年高尔夫球锦标赛于某地举行．如图所示，假设运动员在发球区A处通过挥杆击球，使质量为m的球以初速度v0沿如图轨迹落到球道上的B点，击球点与B处高度差为H，取A处所在平面为参考平面，不考虑空气阻力，重力加速度为g，求

(1)球在上升过程中其动能与重力势能相等的位置距离A位置的竖直高度；

(2)球落在球道B处时的机械能和落地速度大小．

【答案】　(1)　(2)mv02　

【解析】

 (1)球在上升过程中机械能守恒，设距离A位置的竖直高度为h时，球的动能与重力势能相等，即Ek＝Ep＝mgh

由机械能守恒定律可得mv02＝Ek＋mgh

联立解得h＝；

(2)整个过程机械能守恒，所以球在B处时的机械能等于初始A位置处的机械能，即

E＝mv02

从A到B由机械能守恒定律得

mv02＝mvB2－mgH

解得vB＝.

题组A  基础过关练

1．下列运动中物体的机械能不守恒的是（　　）

A．做平抛运动的物体 B．做竖直上抛运动的物体

C．向上做匀速直线运动的物体 D．沿固定光滑曲面自由下滑的物体

【答案】C

【解析】A．做平抛运动的物体只有重力对其做功，机械能守恒，A不符题意；

B．做竖直上抛运动的物体只有重力对其做功，机械能守恒，B不符题意；

C．物体向上匀速直线运动，必然有一个向上的力对其做功，动能不变，重力势能增加，机械能增加，C符合题意；

D．沿固定光滑曲面自由下滑的物体只有重力对其做功，机械能守恒，D不符题意。

故选C。

2．如图所示，光滑的曲面与光滑的水平面平滑相连，一轻弹簧右端固定，质量为m的小球从高度h处由静止下滑，则（    ）

A．小球与弹簧刚接触时，速度大小为

B．小球与弹簧接触的过程中， 小球机械能守恒

C．小球在压缩弹簧最短时，弹簧的弹性势能为mv2

D．小球在压缩弹簧的过程中，小球的加速度保持不变

【答案】A

【解析】A．小球在曲面上下滑过程中，根据机械能守恒定律得

即小球与弹簧刚接触时，速度大小为，故A正确；

B．小球与弹簧接触的过程中，弹簧的弹力对小球做负功，则小球机械能不守恒，故B错误。

C．对整个过程，根据系统的机械能守恒可知，小球在压缩弹簧最短时，弹簧的弹性势能为mgh，因没有明确v是何处的速度，故C错误。

D．小球在压缩弹簧的过程中，弹力增大，则小球的加速度增大，故D错误。

故选A。

3．在北京冬奥会的跳台滑雪比赛中（如图），运动员从陡坡下滑、加速、起跳，然后在落差100多米的山地上自由“飞翔”。针对从陡坡加速下滑的过程，下列说法正确的是（　　）

A．运动员的动能不变

B．运动员的重力势能不变

C．运动员的重力势能减小

D．运动员的动能转化为重力势能

【答案】C

【解析】A．运动员从陡坡加速下滑的过程，质量不变，速度增大，运动员的动能增大，故A错误；

BC．运动员从陡坡加速下滑的过程，质量不变，高度减小，运动员的重力势能减小，故B错误，C正确；

D．运动员从陡坡加速下滑的过程，重力势能减小，动能增加，运动员的重力势能转化为动能，故D错误。

故选C。

4．如图所示，一质量为m的物块在离地面高为h的桌面上以速度v滑动，以地面为参考平面，物块的机械能为（  ）

A． B． C．mgh D．0

【答案】B

【解析】以地面为参考平面，物块的重力势能为

动能为

则机械能为

故选B。

5．如图所示，A、B两小球在距水平地面同一高度处，以相同初速度同时竖直向上抛出，运动过程中的机械能分别为和，加速度大小分别为和。已知，下列说法正确的是（　　）

A．若不计空气阻力，以抛出所在的水平面为零势能面，

B．若不计空气阻力，以A球的最高点所在水平面为零势能面，

C．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球上升的过程中，

D．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球下落的过程中，

【答案】D

【解析】A．若不计空气阻力，小球运动过程中机械能守恒，若以抛出所在的水平面为零势能面，则小球的机械能为

所以

故A错误；

B．若不计空气阻力，小球运动过程中机械能守恒，小球只受重力作用，两小球加速度相同，均为重力加速度g，则小球上升的最大高度为

以A球的最大高度所在的平面为零势能面，则

所以

故B错误；

C．若两球受到相等的空气阻力，上升过程，根据牛顿第二定律

解得加速度为

所以

故C错误；

D．若两球受到相等的空气阻力，下落过程，根据牛顿第二定律

解得加速度为

所以

故D正确。

故选D。

6．将某一物体由地面开始竖直上抛，不计空气阻力，物体能够到达的最大距地高度为H。选取地面为参考平面，当物体在上升过程中通过某一位置时，它的动能恰好等于其重力势能的一半，则这一位置的距地高度为（　　）

A． B． C． D．H

【答案】B

【解析】由机械能守恒定律可知

其中

解得

故选B。

题组B  能力提升练

7．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放（A落地时，立即烧断细线），B上升的最大高度是（　　）

A． B． C． D．2R

【答案】B

【解析】设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有

解得

对B运用动能定理有

解得

则B上升的最大高度为

故选B。

8．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是（　　）

A．M球的机械能守恒

B．M球的机械能增大

C．M球和N球组成的系统机械能守恒

D．绳的拉力对N球做负功

【答案】C

【解析】因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统机械能守恒。

故选C。

9．质量为m的小球从光滑曲面上滑下，在到达高度为的位置A时，速度大小为，滑到高度为的位置B时，速度大小为，则（　　）

A．以地面为重力势能参考面，则小球在A处的重力势能为

B．以B所在平面为重力势能参考面，则小球在A处的重力势能为

C．小球的重力势能不可能为负值

D．选择合适的参考面，可以使

【答案】A

【解析】A．以地面为重力势能参考面，则小球在A处的高度为h1，根据重力势能的定义可知

故A正确；

B．以B所在平面为重力势能参考面，则小球在A处的高度为h1-h2，则小球在A处的重力势能为

故B错误；

C．小球的重力势能是正是负跟零势面的选取有关，若以曲面顶端为零势面，则小球的重力势能为负值，故C错误；

D．无论选哪儿为参考面，小球从光滑曲面上滑下时，由机械能守恒，重力势能减少，动能增加，所以一定有，故D错误。

故选A。

10．如图甲所示，被称为“魔力陀螺”玩具的陀螺能在圆轨道外侧旋转不脱落，其原理可等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为m的铁球（视为质点）沿轨道外侧运动，A、B分别为轨道的最高点和最低点，轨道对铁球的磁性引力始终指向圆心且大小不变，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g，则（　　）

A．铁球绕轨道可能做匀速圆周运动

B．铁球绕轨道运动过程中机械能守恒

C．铁球在A点的向心力由重力和支持力共同提供

D．铁球在B点的最小速度为

【答案】B

【解析】AB．铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，其中铁球受轨道的磁性引力始终指向圆心且大小不变，支持力的方向过圆心，它们都始终与运动的方向垂直，所以磁力和支持力都不能对小铁球做功，只有重力会对铁球做功，所以铁球的机械能守恒，在最高点的速度最小，在最低点的速度最大，铁球不可能做匀速圆周运动，故A错误，B正确；

C．铁球在A点的向心力由重力、支持力、轨道对铁球的磁性引力共同提供，故C错误；

D．铁球在运动的过程中受到重力、轨道的支持力和磁力的作用，铁球在最高点轨道对小铁球的支持力的方向可以向上，可知铁球的速度只要大于0即可通过最高点，既铁球在最高点的最小速度为零，由机械能守恒

可得

铁球在B点的最小速度为

故D错误。

故选B。

题组C  培优拔尖练

11．（多选）如图所示，光滑水平面MA上有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙壁上，弹簧原长小于MA。A点右侧有一匀速运动的水平传送带AB，传送带长度，速度。一半径为的光滑半圆轨道BCD在B点与传送带相切，轨道圆心为O，OC水平。现用一质量为的物块（可看做质点）压缩弹簧，使得弹簧的弹性势能为。由静止释放物块，已知物块与传送带之间的动摩擦因数为，g取关于物块的运动，下列说法正确的是（　　）

A．物块不能运动到半圆轨道最高点D

B．物块运动到B点的速度为

C．物块运动到C点时对轨道的压力为60 N

D．若传送带速度变为，物块在B点右侧不会脱离轨道

【答案】CD

【解析】AB．由题意知，物块到达A点的速度满足

解得

所以物块滑上传送带后做加速运动，有

且加速位移为

整理有

所以滑块在传送带上先加速后匀速，到达B点的速度与传送带速度相同，即为

设滑块恰好可以运动到半圆轨道最高点D，则在最高点满足

解得

从B到D由动能定理得

求得B点最小速度为

所以物块恰好能运动到半圆轨道最高点D，故AB错误；

C．从B到C由动能定理得

在C点受力分析得

联立解得

由牛顿第三定律可知物块运动到C点时对轨道的压力为60 N，故C项正确；

D．若传送带速度变为，则可知滑块滑上传送带后先做减速运动，且减速到时的位移为

整理得

即滑块恰好减速到B点和传送带共速，设物块恰好可以到达C点时对应的B点速度为，则从B到C由机械能守恒可得

解得

即滑块在B点的速度为时，在到达C点之前已经减速为零，则可知传送带速度变为时，物块在B点右侧不会脱离轨道，故D项正确。

故选CD。

12．（多选）如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到上距O点距离为的点。不计空气阻力，重力加速度为g，则该次发射（    ）

A．小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0

B．小钢珠经过N点时的速度大小为

C．弹簧释放的弹性势能为2mgR

D．小钢珠与待检平板碰撞前瞬间动能为

【答案】AD

【解析】AB．小钢珠从N点飞出后做平抛运动，则

，

小钢珠在N点的速度为

根据牛顿第二定律

得

小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0，A正确，B错误；

C．根据机械能守恒

弹簧释放的弹性势能为

C错误；

D．小钢珠与待检平板碰撞的位置与M点在同一水平面，则小钢珠与待检平板碰撞前瞬间动能等于小钢珠在M点的动能，即等于弹簧释放前的弹性势能

D正确。

故选AD。