高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列公开课教案

课程目标

学科素养

A.  理解等比数列及等比中项的概念．

B．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．

1.数学抽象：等比数列的定义

2.逻辑推理：等比数列通项公式的推导

3.数学运算：等比数列的运用

4.数学建模： 等比数列的函数特征

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    新知探究

    我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:

                     ①

         ②

                    ③

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是

                        ④

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

    2,4,8,16,32,64,…                       ⑤

4.某人存入银行元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是

       ⑥

如果用 {an} 表示数列①，那么有    

其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。

探究1   类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？

等差数列的概念

2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d

探究2   类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？

      一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示(显然 )． 符号语言：     ．

探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？

1．下列数列为等比数列的是(　　)

A．m，m2，m3，m4，…

B．22,42,62,82，…

C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…

D．，，，，…

D　解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；≠，

所以B不是等比数列．

2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是(　　)

A．          B．±2        C．±          D．2

B　解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±＝±2.

探究3.  你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得=

所以= , = , = ,…

于是  + ,

+ =(+ ) + + 2,

+ =(+ ) + + 3,……

归纳可得+() (n)

当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立。

因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()

请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？

设一个等比数列的为,根据等比数列的定义，可得

所以 ,

=( ) ,

=()

      ……

归纳可得(n)

又，这就是说，当n时，上式也成立。

因此，首项为,公比为的等比数列的通项公式为

探究4. 在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？

当 , ()

当, ()

即指数型函数

（为, 常数， , 且）构成一个等比数列，

其首项为，公比为

探究5：类比指数函数的性质，你能说说公比的等比数列的单调性吗？

()

二、典例解析

例1. 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项.

分析：等比数列由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。

解法1：由，，得

的两边分别除以①的两边，得  解得或.

把 代入①，得 .

此时 .

把 代入①，得 .

此时 .

因此的第5项是24或.

解法2：因为 是 与 的等比中项，所以.

所以.

因此，的第5项是24或-24.

例2  已知等比数列的公比为，试用的第项表示.

解：由题意，得，①

.    

②的两边分别除以①的两边，得=

所以  .

1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．

2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

跟踪训练1 在等比数列{an}中，

(1)若a2＝4，a5＝－，求an；

(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.

(1)由题意可知

∴q＝－，a1＝－8，

∴an＝a1qn－1＝－8×n－1＝(－2)4－n.

(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，

∴q＝.

由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，

由an＝a1qn－1＝1知n＝6.

例3.  数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.

解：设前三项的公比为 ,后三项的公差为，则数列的各项依次为 ,80,80, 80,

于是得

解方程组，得

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.

跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.

解法1：设这四个数依次为,

于是得解方程组，得

所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法2：设这四个数依次为,

于是得解方程组，得

所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；

当a＝3，时，所求的四个数为15,9,3,1.

故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

通过与等差数列进行类比，引导学生通过观察、分析、归纳出等比数列的定义。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过与等差数列中项性质的类比，获得等比数列中项的性质。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等比数列及其函数特征的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝，则a5＝(　　)

A．           B．        C．          D．

A　解析： ∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，

∴a5＝a1×q4＝4×4＝，故选A．

2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是(　　)

A．等比数列                   B．等差数列

C．递增数列                   D．递减数列

A　解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，

明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，

也不是单调递减数列，排除BCD．

又当n≥2，n∈N*时，＝＝－1为常数，

故数列{an}是等比数列．故选A．

3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝(　　)

A．1         B．2           C．3        D．4

C　解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，

所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．

4.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为(　　)

A．－3        B．3          C．±3           D．不能确定

A　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，

∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，

b，c，－9成等比数列，

∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.

∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.

又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.

5．在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通项公式．

解：设数列{an}的公比为q.

由题意，得解得

所以{an}的通项公式为an＝2n－1.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。