浙教版八年级下册5.3 正方形测试题

这是一份浙教版八年级下册5.3 正方形测试题，共22页。试卷主要包含了嘉嘉同学遇到这样一道题等内容，欢迎下载使用。

浙教版八年级数学下册《5-3正方形》同步练习题
一．选择题
1．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠DEF的度数是（　　）

A．25° B．40° C．45° D．50°
2．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）

A．①② B．①③ C．③④ D．①④
4．嘉嘉同学遇到这样一道题：“如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．”关于这道题有下列说法：①四边形PECF是矩形；②AP＝EF；③PD＝AD；④AP⊥EF，其中正确的说法是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（　　）

A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G，观察图形，与∠AED相等的角有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　）

A．4 B．3 C．2.5 D．2
8．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　）

A．2 B．4 C． D．2

9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE中，错误的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
11．如图，正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3、A4B4C4D4的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按如图所示摆放，点A2，A3，A4分别位于正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3的对角线的交点，则重叠部分的阴影部分的面积之和是 　 　．

12．如图，点A在正方形BCDE的边DC的延长线上，且正方形BCDE的面积为144，AB的长为13，则AC的长为 　 　．


13．如图，正方形ABCD边长为2，CE∥BD，BE＝BD，则CE＝　 　．

14．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向外作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AME的度数是 　 　．

15．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 　 　．

16．如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为 　 　．

17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF，AE．若DE＝DC，EF＝EC，则∠AFE的度数为 　 　．


三．解答题
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是斜边AB上的一动点，作DE⊥AC于点E，DF∥AC交BC于点F．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若四边形CEDF成为正方形，试求正方形的边长．

19．如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：
（1）四边形BDEF是　 　四边形；
（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是　 　．
（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是　 　．
（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是　 　．
并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．

20．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．

21．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．


参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BCE和△DCE中，
，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝20°，
∴∠BFC＝70°，
∴∠DEF的度数是：70°﹣20°＝50°．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，
∴∠A'OB＝∠COC'．
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，
∴S2＝25﹣16＝9，
故选：D．

3．解：A、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由∠ABC＝90°得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
C、由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以能得出平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由AB＝BC得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
所以不能得到平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
4．解：如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，连接CP．

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF是矩形；
∴EF＝CP，
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
又BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP＝EF；故①，②正确．
∵点P是线段BD上任意一点，
∴PD不一定等于AD，即③不正确．
∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG＝PE，
∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，
∴△AGP≌△FPE （SAS），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵GF//BC，
∴∠AGP＝90°，
∵∠BAP+∠APG＝90°，∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，即AP⊥EF．故④正确．
故选：B．
5．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵AB＝BF＝DE，
∴∠BAF＝∠BFA＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴AE＝AF，
∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵AF＝DE，
在△DAE与△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（HL），
∴∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠AFB，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，∠GDA+∠AED＝90°，
∴∠DAG＝∠AED，
∵∠ADE+∠CDG＝90°，
∴∠CDE＝∠AED．
故选：B．
7．解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE＝＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝9﹣x．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，即AF＝4．
故选：A．

8．解：如图，连接EF，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；
∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF；
在△AOE与△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（ASA），
∴OE＝OF（设为λ）；
∴△EOF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：
EF2＝OE2+OF2＝2λ2；
∴EF＝OE＝λ，
∵正方形ABCD的边长是4，
∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），
由题意可得：2≤λ≤2，
∴2≤EF≤4．
所以线段EF的最小值为2．
故选：D．
9．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEA，AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故④错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确；
综上所述，正确的有①②③．
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；
故选：D．

二．填空题
11．解：设正方形 A1B1C1D1、A2B2C2D2、A3B3C3D3中的面积分别为S1，S2，S3，
如图，设A2B2与B1C1交于点M，A2D2与C1D1交于点N，
G过A2分别作A2E⊥B1C1于E，A2F⊥C1D1于F，
连接A2C1，AA2B1，
∵四边形A1B1C1D1是正方形，A2是对角线的交点，
∴A2C1平分∠B1C1D1，且△A2B1C1是等腰直角三角形，
∵A2E⊥B1C1，A2F⊥C1D1，
∴A2E＝A2F＝B1C1，
∵∠A2EC1＝∠B1C1D1＝∠A2FC1＝90°，
∴四边形A2EC1F为正方形，
∴C1E＝A2E＝B1C1，
∵四边形A2B2C2D2是正方形，
∴∠B2A2D2＝∠EA2F＝90°，
∴∠EA2M＝∠FA2N，
在△A2EM与△A2FN中，
，
∴△A2EM≌△A2FN（ASA），
∴＝，
∴S1＝+＝+＝，
∴S1＝C1E2＝（B1C1）2＝＝1，
同理，S2＝＝4，S3＝S正方形A3B3C3D3＝9，
∴阴影部分的面积和为：1+4+9＝14，
故答案为：14．

12．解：∵正方形BCDE的面积为144，
∴BC＝12，∠ACB＝90°，
∵AB的长为13，
∴AC＝＝5．
故答案为：5．
13．解：如图，过点E作EH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵CE∥BD，
∴∠ECH＝∠DBC，
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴∠DBC＝45°，BD＝2，
∴∠ECH＝45°，BE＝BD＝2，
∴△EHC是等腰直角三角形，
设CH＝EH＝x，则BH＝BC+CH＝2+x，
在Rt△BEH中，EH2+BH2＝BE2，
∴x2+（2+x）2＝（2）2，
解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍），
∴CH＝EH＝﹣1，
∴CE＝CE＝×（﹣1）＝，
故答案为：．

14．解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°，
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AME＝∠BMC＝120°．
故答案为：120°．
15．解：如图，连接PB，

在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AP＝AP，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP＝DP；
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF＝PB，
∴EF＝DP＝3，
故答案为：3．
16．解：如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°，
由旋转得：△ABE≌ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠DAF+∠DAG＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG＝45°，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∴EF＝GD+DF＝BE+DF，
∴△ECF的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF＝BC+CD＝2，
故答案为2．

17．解：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，∠DCB＝90°，∠ADB＝45°，AD＝DC，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF＝22.5°，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝∠FEC﹣∠BEC＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵DE＝DC，
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
故答案为：45°．

三．解答题
18．解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DEA＝∠C．
∴DE∥BC．
∵DF∥AC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
（2）若四边形CEDF成为正方形，设这个正方形的边长为x，
则CE＝DE＝DF＝FC＝x，BF＝4﹣x，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴．
即：．
解得：x＝．
∴正方形的边长为．
19．解：（1）∵在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是 平行四边形，
故答案为：平行；
（2）当AB＝BC时，
∴BD＝BF，
∴平行四边形BDEF是菱形，
故答案为：AB＝BC；
（3）当∠B＝90°时，
∴平行四边形BDEF是矩形，
故答案为；∠B＝90°；
（4）当∠B＝90°，AB＝BC，
∴平行四边形BDEF是正方形，
故答案为：∠B＝90°，AB＝BC
20．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，

∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
21．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，

②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，

综上所述，∠EFC＝130°或40°．