初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形达标测试

专题5.3  正方形-重难点题型

【浙教版】

【题型1  正方形的性质（求角的度数）】

【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE的度数是　   　．

【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝　  　°．

【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG＝　  　°．

【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数．

【题型2  正方形的性质（求线段的长度）】

【例2】（2021春•崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为　   　．

【变式2-1】（2021春•余杭区月考）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为　   　．

【变式2-2】（2021春•南开区期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，求CT的长．

【变式2-3】（2021春•綦江区校级月考）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．

（1）求证：EF＝AE+CF；

（2）当AE＝1时，求EF的长．

【题型3  正方形的性质（求面积、周长）】

【例3】（2020春•仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为　   　．

【变式3-1】（2021春•仓山区期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点H．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCH的周长为（　　）

A．24 B．2 C．24 D．24

【变式3-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（　　）

A．14 B．16 C．18 D．12

【变式3-3】（2021春•河西区期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（　　）

A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2

【题型4  正方形的性质（探究数量关系）】

【例4】（2020秋•和平区期末）如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

【变式4-1】（2020春•西山区期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接DE，过点A作AM⊥DE，垂足为M，AM与BD相交于点F．

（1）直接写出OE与OF的数量关系：　   　；

（2）如图（2）若点E在AC的延长线上，AM⊥DE于点M，AM交BD的延长线于点F，其他条件不变．试探究OE与OF的数量关系，并说明理由．

【变式4-2】（2020春•安阳县期末）四边形ABCD是正方形，G是直线BC上任意一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，当点G在BC边上时（如图1），易证DF﹣BE＝EF．

（1）当点G在BC延长线上时，在图2中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，并证明．

（2）当点G在CB延长线上时，在图3中补全图形，写出DF、BE、EF的数量关系，不用证明．

【变式4-3】（2021春•天河区校级期中）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．

（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；

（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

【题型5  正方形的性质综合应用】

【例5】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；

（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．

【变式5-1】（2021春•余杭区月考）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．

（1）求证：BF＝DP；

（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；

（3）求证：CP＝BM+2FN．

【变式5-2】（2021春•莆田期末）如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；

（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【变式5-3】（2021春•江津区期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段OC上，点F在线段AB上，连接BE，连接EF交BD于点M，已知∠AEB＝∠OME．

（1）如图1，求证：EB＝EF；

（2）如图2，点N在线段EF上，AN＝EN，AN延长线交DB于H，连接DF，求证：DFAH．

【题型6  判定正方形成立的条件】

【例6】（2020春•上蔡县期末）下列说法正确的个数是（　　）

①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；

②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；

③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式6-1】（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF

【变式6-2】（2020春•开原市校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

①AB＝BC，

②∠ABC＝90˚，

③AC＝BD，

④AC⊥BD

A．选①② B．选①③ C．选②③ D．选②④

【变式6-3】（2020秋•陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是　       　．

【题型7  正方形判定的证明】

【例7】（2020秋•富平县期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．

【变式7-1】（2021春•娄星区校级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．

【变式7-2】（2020春•新乡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB＝∠CDB；

（2）若∠ADC＝　    °时，四边形MPND是正方形，并说明理由．

【变式7-3】（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？

（3）直接回答：当△ABC满足      　时，四边形ADCE是正方形．

【题型8  正方形的判定与性质综合】

【例8】（2021春•天心区期中）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；

（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；

（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．

【变式8-1】（2020秋•青山区期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【变式8-2】（2020春•南充期末）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．

（1）求证：四边形ABEF是正方形；

（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；

（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．

【变式8-3】（2020春•邹城市期末）如图，▱ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．

（1）求证：四边形BDCE是正方形；

（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：ANPB．