初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形图片ppt课件

新知讲解

提炼概念

  如何判定一个图形是正方形呢？

(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）

1. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.定义法
2. 有一个角是直角的菱形是正方形.菱形法

3.有一组邻边相等的矩形是正方形.矩形法

典例精讲 

例1  已知:如图,△ABC中.∠ABC=90°,CD是角平分线,DE⊥CB,DF⊥AC,垂足分别是E、F.求证：四边形DECF是正方形.

证明：∵  DE⊥AC，DF⊥AB，

             ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°

              而∠ACB=90°

        ∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形)

         ∵ CD平分∠ACB，DE⊥AC， DF⊥BC

         ∴ DE=DF( 角平分线的定理 )

         ∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形)

课堂练习

巩固训练

 1.将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是 (　   　)

   A．邻边相等的矩形是正方形

   B．对角线相等的菱形是正方形

   C．两个全等的直角三角形构成正方形

   D．轴对称图形是正方形

1.A

2.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则下列添加的一个条件错误的是（        ）

A．∠ABC＝90°  B．∠BAC＝45°

C．AO＝BO    D．AC，BD互相垂直平分

2.D

3.如图，在矩形ABCD中，AF，BE，CE，DF分别是矩形的四个角的角平分线，E，M，F，N是其交点．求证：四边形EMFN是正方形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴四个内角均为90°，

∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，

∴∠EBC＝∠ECB＝45°，

∴△EBC为等腰直角三角形，

∴∠E＝90°.同理，∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，

∴四边形MFNE为矩形．

∵AD＝BC，∠E＝∠F＝90°，∠DAF＝∠EBC＝45°，

∴△DAF≌△CBE(AAS)，∴AF＝BE.

又∵AM＝BM，

∴AF－AM＝BE－BM，即FM＝EM，

∴四边形EMFN是正方形．

4.已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

 (1)求证：四边形ABCD是菱形；

 (2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO.

又∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，即DB⊥AC，

∴平行四边形ABCD是菱形；

(2)∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°.

∵EO⊥AC，AO＝CO，∴∠AEO＝1/2∠AEC＝30°.

∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°.

∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°.

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ADC＝2∠ADO＝90°.

∴四边形ABCD是正方形．

课堂小结

1．正方形的概念

 定义：有一组______边相等，并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．

（邻  直角）

2．正方形的判定

 方法1：先判定是矩形，再证明邻边________或对角线____________；

 方法2：先判定是菱形，再证明一角是________或对角线________．

 说明：由于正方形既是矩形又是菱形，所以可以用矩形或菱形来研究正方形的有关问题．

（相等  互相垂直 直角 相等)