专题01 平行线的判定与性质重难点题型专训-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 平行线的判定与性质重难点题型专训 【题型目录】 题型一 平行公理的应用 题型二 “三线八角”判定直线平行 题型三 平行线判定的综合 题型四 平行线性质的综合 题型五 根据平行线的性质求角度 题型六 平行线的性质在生活中的实际应用 题型七 平行线的判定与性质综合（折叠问题） 题型八 平行线的判定与性质综合（旋转问题） 【经典例题一 平行公理的应用】 【例1】（2021春·山东泰安·七年级校考期中）给出下列说法：①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫作两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若，则点B是线段AC的中点；⑤同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑥平行于同一直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 【变式1】（2022·全国·七年级专题练习）下列说法中是真命题正确的个数有（   ）个 （1）若ab，bd，则ad；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2020春·黑龙江牡丹江·七年级校考期中）给出下列说法： （1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等； （2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交； （3）相等的两个角是对顶角； （4）三条直线两两相交，有三个交点； （5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c． 其中正确的有________个 【变式3】（2023春·七年级单元测试）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点M、N、P、Q均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），线段MN经过点P． (1)过点P画线段AB，使得线段AB满足以下两个条件：①AB⊥MN；②； (2)过点Q画MN的平行线CD，CD与AB相交于点E； (3)若格点F使得△PFM的面积等于4，则这样的点F共有 个． 【经典例题二 “三线八角”判定直线平行】 知识点：同位角、内错角和同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 知识点：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【例2】（2022秋·八年级课时练习）如图，直线a，b，c被直线l所截，下列条件中：①1=3，4=5；②2+3=，3=7；③1=2，5=6；④2=3，4=5，能确定ac的条件的是 （    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【变式训练】 【变式1】（2022秋·全国·八年级专题练习）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A． B． C． D． 【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1．能判断直线mn的有__．（填序号） 【变式3】（2022秋·八年级课时练习）台球运动中，如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻的另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线与平行吗？证明你的判断． 【经典例题三 平行线判定的结合】 【例3】（2022春·河北张家口·七年级统考期中）如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（    ）时，． A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128° 【变式训练】 【变式1】（2021春·山东青岛·七年级青岛经济技术开发区第四中学校考阶段练习）如图，在四边形中，点在上，连接，下列说法正确的是（        ）. A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【变式2】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行． 【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． (1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数； (2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由． 【经典例题四 平行线性质的综合】 【例4】（2022秋·全国·八年级专题练习）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A．16 B．60 C．66 D．114 【变式训练】 【变式1】（2022春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022春·江西九江·七年级统考期末）为了提醒司机不要疲劳驾驶，高速公路上安装了如图1所示的激光灯，图2是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个发射点，，现激光绕点以每秒3度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒2度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________． 【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？ 【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系． （1）如图1，，，试证：； （2）如图2，，，试证：； 【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________； 【拓展应用】 （3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数． （4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________． 【经典例题五 根据平行线的性质求角度】 【例5】（2023春·七年级单元测试）如图，直线分别与直线相交于点，已知，平分交直线于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式1】（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2022春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧． （1）若，则______°； （2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示） 【变式3】（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）已知，点E在上，点F在DC上，点G为射线上一点． (1)【基础问题】如图 1，试说明：．（完成图中的填空部分）证明：过点G作直线， 又∵， ∴ ① ∵， ∴∠ ② ． ∵， ∴ ③ （ ④ ） ∴． (2)【类比探究】如图 2，当点G在线段延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图 3，平分，交于点H，且，直接写出的度数为 °． 【经典例题六 平行线的性质在生活中的实际应用】 【例6】（2021春·全国·七年级期末）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（  ） A．102° B．112° C．120° D．128° 【变式训练】 【变式1】（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）． A． B． C． D． 【变式2】（2022春·云南昆明·七年级统考期末）《七彩云南》少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目，它荟萃云南人文之美，深受观众喜爱．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点和点的两盏激光灯控制．如图，光线与灯带的夹角，当光线与灯带的夹角______时，． 【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【经典例题七 平行线的判定与性质综合（折叠问题）】 【例7】（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB-∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（　　）度． A．130 B．131 C．132 D．133 【变式训练】 【变式1】（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（   ） A．① ② ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ② 【变式2】（2022春·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=__________．（用含m的式子表示） 【变式3】（2022秋·贵州铜仁·九年级统考阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕． (1)试说明∠1＝∠2； (2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数． 【经典例题八 平行线的判定与性质综合（旋转问题）】 【例8】（2022秋·八年级课时练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（　　） A．当α＝15°时，DC∥AB B．当OC⊥AB时，α＝45° C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15° D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行 【变式训练】 【变式1】（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（　　） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【变式2】（2022春·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间t=_____． 【变式3】（2022春·北京·七年级校考期中）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒，灯转动的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：______； (2)若灯射线先转动秒，灯A射线才开始转动，在灯射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，且，则在灯射线到达之前，转动的时间为______秒． 【培优检测】 1．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期中）在下列说法中，正确的有（    ）个． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；    ②已知、的两边分别平行，那么； ③垂直于同一条直线的两条直线平行；            ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2021春·福建宁德·七年级统考期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·贵州安顺·七年级统考期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（    ） A．130° B．140° C．145° D．150° 4．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是(     )                A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022秋·浙江·八年级开学考试）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 6．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2021秋·八年级单元测试）如图，添加一个你认为合适的条件______使． 8．（2022春·山东潍坊·七年级统考期中）在同一平面内有2022条直线，如果，，，……那么与的位置关系是_____________． 9．（2022春·河北邯郸·七年级校考期中）如图，，，垂足为A，交于点，点在射线上． （1）若平分，则______． （2）若，在直线上取一点，连接，过点作，交直线于点，若，则______． 10．（2022秋·八年级课时练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________． 11．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边重合，，．接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点C按顺时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间______________秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 12．（2023春·七年级单元测试）如图，直线，点、分别为直线和上的点，点为两条平行线间的一点，连接和，过点作的平分线交直线于点，过点作，垂足为，若，则________． 13．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______． 14．（2022春·福建龙岩·七年级龙岩初级中学校考阶段练习）将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t秒，当时，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行，则所有满足条件的t的值为 _____． 三、解答题 15．（2021春·辽宁沈阳·七年级校考期中）有两个与，保持不动，且的一边，另一边DE与直线OB相交于点F．若，，解答下列问题： (1)如图，当点E、O、D在同一条直线上，即点O与点F重合，求的度数． (2)当点E、O、D不在同一条直线上，直接写出的度数_______． 16．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）如图，直线，直线与，分别交于点M，N，分别是与的平分线，交于点F，过点N作交于点G． (1)若，则___________； (2)求证：； (3)连接，在上取一点H，使，作的平分线交于点P，求的度数． 17．（2022秋·八年级单元测试）如图1，已知直线，点A为直线上一点，点B为直线上一点，且，点C是直线上一动点，且点C在点B右侧，过点C作交直线于点D，连接． (1)若平分，请直接写出的度数； (2)作，交直线于点E，平分．（说明：解答过程用数字表示角） ①如图2，若点E，F都在点B的右侧，求的度数． ②在点C的运动过程中，是否存在这样的情形，使成立？若存在，求出的度数：若不存在，请说明理由． 18．（2022秋·全国·八年级专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线，上的一点，点P为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线 ，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设，．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 19．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考期末）小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：，为之间一点，连接，得到． 求证：． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明：过点作，则有 ∵ ∴ ∴ ∴ 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： (1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数． (2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系． 20．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于． (1)如图1，若，求的度数； (2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值； (3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系； ②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．