专题7.1 平行线的判定-七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题7.1 平行线的判定【七大题型】 【苏科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc15185" 【题型1 平行公理及其推论】  PAGEREF _Toc15185 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5524" 【题型2 同位角相等，两直线平行】  PAGEREF _Toc5524 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc26075" 【题型3 内错角相等，两直线平行】  PAGEREF _Toc26075 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc18821" 【题型4 同旁内角互补，两直线平行】  PAGEREF _Toc18821 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc3069" 【题型5 平行线的判定方法的综合运用】  PAGEREF _Toc3069 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc31586" 【题型6 角平分线与平行线的判定综合运用】  PAGEREF _Toc31586 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc19257" 【题型7 平行线判定的实际应用】  PAGEREF _Toc19257 \h 9  【知识点 平行线的判定】 1.平行公理及其推论 ①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2.平行线的判定方法 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型1 平行公理及其推论】 【例1】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（    ） A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c 【变式1-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（   ） A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【变式1-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④ a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a  b ， b  c ，则a  c ； 其中真命题的个数是（        ） A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图， AB∥CD， 如果∠1=∠2， 那么EF与AB平行吗？ 说说你的理由． 解：因为∠1=∠2， 所以____________∥___________．（          ） 又因为AB∥CD， 所以AB∥EF． （           ） 【题型2 同位角相等，两直线平行】 【例2】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由． 因为AB⊥MN，CD⊥MN， 所以∠ABM＝∠CDM＝90°． 又因为∠1＝∠2( )， 所以∠ABM−∠1＝∠CDM−∠2( )， 即∠EBM＝∠FDM． 所以EB∥FD( ) 【变式2-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______． 【变式2-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？ 【变式2-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1是它的补角的3倍，∠1−∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【题型3 内错角相等，两直线平行】 【例3】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由． 【变式3-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求证：a∥b． 【变式3-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB∥CF. 【变式3-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB=12∠BAD，试说明AD∥BC． 【题型4 同旁内角互补，两直线平行】 【例4】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥CD． 【变式4-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：AD∥BC． 【变式4-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC. (1) ∠DAB+∠B等于多少度？ (2)AD与BC平行吗？请说明理由． 【变式4-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF． 下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据． 证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（①　　）． ∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）． ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠2＝∠CBD（ ②　　）． ∵∠1＝∠2（已知）． ∴∠1＝∠CBD（等量代换）． ∴③　　（内错角相等，两直线平行）． ∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知）， ∴MD∥BC（④　　）． ∴MD∥GF（⑤　　）． 【题型5 平行线的判定方法的综合运用】 【例5】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥b的有（　　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行(   ) A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【变式5-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知∠1=∠2，一定能推导出l1∥l2的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是（    ） A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180° 【题型6 角平分线与平行线的判定综合运用】 【例6】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由． 【变式6-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD． 证明：∵CE平分∠ACD（已知）， ∴∠2＝∠　 　（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　 　（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 【变式6-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C． 求证：BE∥CF． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠EBF=12______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠CFB=12______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴BE∥CF（____________） 【变式6-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由． 解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)， ∠AGC+∠AGD=180°(______)， 所以∠BAG=∠AGC(______)． 因为EA平分∠BAG， 所以∠1=12∠BAG(______)． 因为FG平分∠AGC， 所以∠2=12______， 得∠1=∠2(等量代换)， 所以______(______)． 【题型7 平行线判定的实际应用】 【例7】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为(　　) A．65° B．85° C．95° D．115° 【变式7-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（　　） A．如图1，展开后测得∠1=∠2 B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2 D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180° 【变式7-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°． B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°． C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°． D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°． 【变式7-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1=70°,∠2=100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．