高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用同步测试题

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专题08　函数的极值
1．函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都小，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0．则x0叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极小值．如图1．
　　　　　　　
图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2
2．函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝x0的函数值f(x0)比它在点x＝x0附近其他点的函数值都大，f′(x0)＝0；而且在点x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0．则x0叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(x0)叫做函数y＝f(x)的极大值．如图2．
3．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
对极值的深层理解：
(1)极值点不是点；
(2)极值是函数的局部性质；
(2)按定义，极值点xi是区间［a，b］内部的点(如图)，不会是端点a，b；
(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
(4)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值，在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极小值大；
(5)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点，也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0，即x＝0是f(x)＝x3的驻点，但从f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数可知，x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点；
(6)函数f(x)在［a，b］上有极值，极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在［a，b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
考点一　根据函数图象判断极值
【方法总结】
由图象判断函数y＝f(x)的极值
(1)y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标为x0，可得函数y＝f(x)的可能极值点x0；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点　　　　　　　　B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点　　　　　　　D．有四个极大值点、无极小值点
(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)　　　　　B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)　　　　D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
(3)函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，x1，x2是函数y＝f(x)的两个极值点，则x＋x等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
(4)已知函数y＝的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是(　　)

A．f′(1)＝f′(－1)＝0　　　　　　　　　　　　　　B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值
C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根　　　　D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值
(5)(多选)函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有(　　)

A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间　　　　　　B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值　　　　　　D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
(6) (2018·全国Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

【对点训练】
1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立
的是(　　)

A．f(x)有两个极值点　　　　　　　　　　　　　　　B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值　　　　　　　　　　　　　　　D．f(－1)为f(x)的极小值
3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则＝________．

5．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是(　　)

A．－3是函数y＝f(x)的极值点　　　　　　　　B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增　　　　　D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
考点二　求已知函数的极值
【方法总结】
求函数的极值或极值点的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
【例题选讲】
[例1](1)函数f(x)＝x2e－x的极大值为__________，极小值为________．
(2)设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点　　　　　　　　B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点　　　　　　　　D．x＝2为f(x)的极小值点
(3)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－，则f(x)的极大值点为(　　)
A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e
(4)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1，2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值　　　　　D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
(5)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　B．－2e－3 　　　　　　　　C．5e－3　　　　　　　　D．1
(6)设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝lnx，f(1)＝，则下列结论不正确的是(　　)
A．xf(x)在(0，＋∞)上单调递增　　　　　　　　　B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值　　　　　　　　D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
[例2]　给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，
若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的拐点．已知f(x)＝ax＋sinx－cosx．
(1)求证：函数y＝f(x)的拐点M(x0，f(x0))在直线y＝ax上；
(2)x∈(0，2π)时，讨论f(x)的极值点的个数．






[例3]　(2021·天津高考节选)已知a＞0，函数f(x)＝ax－x·ex．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切点的方程；
(2)证明f(x)存在唯一极值点．







【对点训练】
1．函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．e2
2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1　　　　　　B．x＝－1　　　　　　C．x＝1或－1或0　　　　　　D．x＝0
3．函数f(x)＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．无数
4．函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2．718…是自然对数的底数)的极值点是 ；极大值为 ．
5．已知函数f(x)＝ax3－bx＋2的极大值和极小值分别为M，m，则M＋m＝(　　)
A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4
6．若x＝－2是函数f(x)＝x3－ax2－2x＋1的一个极值点，则函数f(x)的极小值为(　　)
A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为(　　)
A．2　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．3＋ln 2　　　　　　　　D．－2＋2ln 2
8．已知函数f(x)＝xlnx，则(　　)
A．f(x)的单调递增区间为(e，＋∞)　　　　　　B．f(x)在上是减函数
C．当x∈(0，1]时，f(x)有最小值－　　　　　　D．f(x)在定义域内无极值
9．(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)存在两个不同的零点
B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－e D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最小值为2
10．若函数f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，
则x2－x1＝________．
11．已知函数f(x)＝ex(x－1)－eax2，a＜0．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极小值．





12．已知函数f(x)＝．
(1)求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)证明：函数f(x)仅有唯一的极小值点．










考点三　已知函数的极值(点)求参数的值(范围)
【方法总结】
由函数极值求参数的值或范围
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号．
【例题选讲】
[例1](1)若函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则m＝________．
(2)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________．
(3)若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－k)k(k≥1，k∈Z)，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝ ．
(4)设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
(5)若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2lnx(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是(　　)
A．　　　　B．(1，＋∞)　　　　C．(1，2)　　　　D．(2，＋∞)
(6)若函数f(x)＝x2－x＋alnx在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为 ；
(7)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
(8) (2021·全国乙)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)
A．ab　　　　　　C．aba2

[例2]　已知曲线f(x)＝xex－ax3－ax2，a∈R．
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数y＝f(x)有三个极值点，求实数a的取值范围．





【对点训练】
1．若函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点为1，则a＝(　　)
A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．0　　　　　　　　D．1
2．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为(　　)
A．6　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．2或6　　　　　　　　D．0
3．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的
极小值等于－98，则a的值是(　　)
A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．5
4．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为 ．
5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
6．若函数f(x)＝(2－a)在上有极大值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(，e)　　　　　　　B．(，2)　　　　　　　C．(2，e)　　　　　　　D．(e，＋∞)
7．已知函数f(x)＝－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为(　　)
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．0，
8．若函数f(x)＝x2－x＋alnx有极值，则实数a的取值范围是________．
9．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－alnx存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a的取值范围为________．
10．已知函数f(x)＝xlnx＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．
11．已知函数f(x)＝xln x－ax2－2x有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝－a．若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，1) 　　　　　　　　B．(0，1) 　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．