高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用精品教学设计及反思

课程目标

学科素养

A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；

B．掌握求函数最值的方法及其应用；

C．体会数形结合、化归转化的数学思想．

1.数学抽象：求函数最值的方法

2.逻辑推理：函数极值与最值的关系

3.数学运算：运用导数求函数的最值

4.直观想象：最值与极值的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：

解方程 f '(x) = 0.当 f '(x0) = 0 时：

如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0 ，那么 f (x0) 为极大值；

如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0 ，那么 f (x0) 为极小值；

二、    探究新知

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。

探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？

极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；

探究2：那么f (x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?

最大值：f(a);最小值：f(x3)

探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)

1．函数的最大(小)值的存在性

一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．

连续不断

问题1：函数的极值与最值的区别是什么？

函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的____；

(2)将函数y＝f (x)的______与____处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．

极值 ；各极值 ；端点 ；最大值 ；最小值

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　   )

(2)开区间上的单调连续函数无最值． (   　)

(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值． (　　)

(4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． (　　)

解析：　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．

(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．

(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．

(4)正确．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

三、典例解析

例6: 求在[0,3]的最大值与最小值.

解：因为

令0,解得：

又因为f(0)=4,f(3)=1

所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，

当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值- .

求函数最值的着眼点

1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.

2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

跟踪训练1.　求下列各函数的最值．

(1)f (x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；

(2)f (x)＝sin 2x－x，x∈.

 [解]　(1)f ′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，

令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1.

当x变化时，f ′(x)，f (x)变化状态如下表：

从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，

函数f (x)取得最小值－1.

当x＝－1或x＝2时，函数f (x)取得最大值11.

(2)f ′(x)＝2cos 2x－1，令f ′(x)＝0，得cos 2x＝，

又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．

∴2x＝±.∴x＝±.

∴函数f (x)在上的两个极值分别为

f ＝－，f ＝－＋.

又f ＝－，f ＝.

比较以上函数值可得f (x)max＝，f (x)min＝－.

例7: 给定.

（1）判断函数的单调性，并求出的极值；

（2）画出函数的大致图像；

（3）求出方程= ()的解的个数.

解：（1）函数的定义域为

因为

令0,解得：

、的变化情况如表所示

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增。当时，有极小值=

（2）令=0，解得：

当时， 0;当时， 0.

所以的图像经过特殊点A( ),B,C.

当时，与一次函数相比，指数函数 呈爆炸性增长，从而

当时， ,

根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示

（3）方程=()的解的个数为函数的图像与直线的交点个数。

由（1）及图可得，当时，有最小值

所以，方程= 的解得个数有如下结论；

当< 时，解为0个

当 或时，解为1个

当<0时，解为2个

函数的图像直观地反映了函数的性质，通常可以按如下步骤画出函数的大致图像
（1）求出函数的定义域；

（2）求导数及函数的零点；

（3）用零点将的定义域为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，并得出单调性与极值；

（4）确定图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；

（5）画出的大致图像.

例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分,其 (单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.

(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?

解：由题意可知，每瓶饮料的利润是

=

所以

令0,解得=2.

当时，<0;当时，0.

因此，当半径>2时，0,

单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2时，<0, 单调递减，即半径越大，利润越低。

（1）半径为6cm时，利润最大

（2）半径2cm时，利润最小，这时<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。

1．优化问题

生活中经常遇到求        、         、        等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．解决优化问题的基本思路

利润最大；用料最省；效率最高

函数；导数

跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．

试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．

解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1 m的正六棱柱，

上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示．

设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为x m，

帐篷的体积为V(x) m3，且1<x<4.

由题设可得正六棱锥的底面边长为＝(m)，

故底面正六边形的面积为6×()2＝(8＋2x－x2)(m2)，

故V(x)＝(8＋2x－x2)·＝(16＋12x－x3)，则V′(x)＝(12－3x2)．

令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．

当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)为增函数；当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)为减函数．

所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝16.

综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2 m时，

帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.

温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过特例，体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数最值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。

三、达标检测

1．函数y＝的最大值为(　　)

A．e－1　   B．e　　　C．e2　　　D．10

A　[令y′＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；

当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，

因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]

2．设函数f (x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是________．

　[f ′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－.

f (－1)＝，f ＝，f (1)＝，f (2)＝7，

∴m＜.]

3．已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0，2]上的最大值．

[解]　f ′(x)＝3x2－2ax.

令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.

①当≤0，即a≤0时，

f (x)在[0，2]上单调递增，从而f (x)max＝f (2)＝8－4a.

②当≥2，即a≥3时，f (x)在[0，2]上单调递减，从而f (x)max＝f (0)＝0.

③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，

从而f (x)max＝

综上所述，f (x)max＝

4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

[解]　(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为

C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，

因此C(x)＝.

而建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f′(x)＝6－，

令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－(舍去)．

当0≤x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0，

故x＝5是f(x)的最小值点，

对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.

所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；

（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。