选择性必修 第二册5.2 导数的运算优秀综合训练题

专题01　导数的运算

1．基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；

3．复合函数的定义及其导数

(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【方法总结】

导数运算的原则和方法

基本原则：先化简、再求导；

具体方法：

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

(6)复合函数：由外向内，层层求导．

【例题选讲】

[例1]　求下列函数的导数：

(1)y＝x2sin x；

(2)y＝；

(3)y＝xsincos；

(4)y＝ln(2x－5)．

[例2]　(1) (2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝________．

(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝        ．

(3)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于(　　)

A．－sin x－cos x　　　　B．sin x－cos x　　　　C．－sin x＋cos x　　　　D．sin x＋cos x

(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)

A．f(x)＝sin x＋cos x　　　B．f(x)＝ln x－2x　　　C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex

(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是(　　)

A．x2－xln x＋x　　　　B．x2－xln x－x　　　　C．x2＋xln x＋x　　　　D．x2＋2xln x＋x

【对点训练】

1．下列求导运算正确的是(　　)

A．′＝1＋　　B．(log2x)′＝　　C．(5x)′＝5xlog5x　　D．(x2cos x)′＝－2xsin x

2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)

A．xsin x　　　　　　　B．－xsin x　　　　　　　C．xcos x　　　　　　　D．－xcos x

3．(多选)下列求导运算正确的是(　　)

A．(sin a)′＝cos a(a为常数)　　　　　　　　B．(sin 2x)′＝2cos 2x

C．()′＝　　　　　　　　　　　　　　D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x

4．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝        ．

5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsin x，

则f2 019(x)＋f2 021(x)＝(　　)

A．－2cos x　　　　　B．－2sin x　　　　　C．2cos x　　　　　D．2sin x

6．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0等于(　　)

A．e2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．ln 2　　　　　　　　D．e

7．已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝        ．

8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝        ．

9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)

A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．

10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．

11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝      ．

12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．－2

13．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)

A．f(x)＝3cos x　　　B．f(x)＝x3＋x　　　C．f(x)＝x＋　　　D．f(x)＝ex＋x

14．f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为(　　)

A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4

15．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2．若f′(2 020)＝6，则f′(－2 020)＝______．

16．分别求下列函数的导数：

(1)y＝exln x；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln．(5)f(x)＝．