人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用一课一练

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知识点1 极值点与极值的概念
1．极小值点与极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点．
【即学即练1】关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
【即学即练2】已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练3】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点2 求函数的极值
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
【即学即练4】已知函数的导函数为，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【即学即练5】求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2e－x.
【即学即练6】求下列函数的极值：
（1）f(x)＝x3－x2－3x；（2）f(x)＝x4－4x3＋5；（3）f(x)＝.
【即学即练7】函数，则（ ）
A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝ 为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点
考点一 知图判断函数极值
解题方略：
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
【例1-1】函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3))内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
④当x＝－eq \f(1,2)时，函数y＝f(x)有极大值；
⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的序号是________．
变式1：函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1,2)上函数f(x)单调递增
B．在(3,4)上函数f(x)单调递减
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
变式2：设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
变式3：已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．小于或等于0
考点二 求函数的极值
解题方略：
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
【例2-1】求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
变式1：函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为( )
A．－e B．－1
C．1－e D．0
变式2：函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x2＋2)的极小值为________．
变式3：函数的极值点为______．
变式4：已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠eq \f(2,3)时，求函数f(x)的单调区间与极值．
变式5：已知函数，则其极大值与极小值的和为__________．
考点三 由极值（极值点）求参数的值或范围
解题方略：
已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
注：根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．（在点左、右两侧的导数值符号相反）
（一）已知极值求参数的取值范围
【例3-1】若函数在处取得极值，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式1：【多选】已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
变式2：若函数f(x)＝eq \f(2,3)x3－eq \f(5a,2)x2＋3a2x－3a2－eq \f(2,3)在x＝3处取得极大值，则常数a的值为( )
A．3 B．2 C．3或2 D．－3或－2
变式3：若，，且函数在处取得极值，则的最大值为（ ）
A．9B．6C．3D．2
变式4：若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．
变式5：函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式6：若f(x)＝ex－kx的极小值为0，则k＝________．
【例3-2】若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
变式1：已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝eq \f(2,3)是y＝f(x)的极值点，则a＝___________， b＝________.
变式2：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝________.
变式3：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq \f(a,b)的值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－2 C．－2或－eq \f(2,3) D．2或－eq \f(2,3)
【例3-3】【多选】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是( )
A．－4 B．－3 C．6 D．8
变式1：已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式2：若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
变式3：已知函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______．
变式4：若函数在区间内有极小值，则的取值范围为________．
变式5：若函数f(x)＝eq \f(ax2,2)－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))内有极大值，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞)) B．(1，＋∞) C．(1,2) D．(2，＋∞)
【例3-4】若函数在定义域内无极值，则实数的取值范围为______．
变式1：若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
已知极值点个数求参数的取值范围
【例3-5】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．
变式1：若函数f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
变式2：若函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3：函数在内存在极值点，则（ ）
A．B．
C．或D．或
【例3-6】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式1：若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
【例3-7】若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式1：已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【例3-8】已知函数在区间上有3个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________.
考点四 利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
【例4-1】若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1：若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
变式2：已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数有且只有一个零点，试求实数的取值范围.
变式3：设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的极值点；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.