人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.2 相似三角形的性质学案

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专题27.19 相似三角形的性质（知识讲解）
【学习目标】
1、 理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上；
2、 灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算；
3、 运用相似三角形的性质解决综合问题。
【要点梳理】
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
特别说明：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：

图一 图二
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则

特别说明：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【典型例题】
类型一、 相似三角形性质的应用
1．如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．

【答案】2：1
【分析】根据相似三角形的性质得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因为AF是∠BAC的平分线，所以∠BAF＝∠CAF，然后根据三角形外角的性质求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根据相似三角形的性质求得＝＝，即得AG：GF＝2：1．
解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG：GF＝2：1．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定定理和性质定理是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似？请说明理由。

【答案】或．
【分析】因为∠B＝∠D＝90°，所以只有两种可能，假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长．
解：当或时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似，
理由：∵正方形ABCD边长是2，BE＝CE，
∴BE＝1，
∴AE＝，
①假设△ABE∽△NDM，
∴DM：BE＝MN：AE．
∴DM：1＝1：，
∴DM＝
②假设△ABE∽△MDN，
∴DM：BA＝MN：AE．
∴DM：2＝1：，
∴DM＝．
综上所述，当或时，△ABE与以点D、M、N为顶点的三角形相似．
【点拨】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．
【变式2】如图，与相似，求x，y的值．

【答案】，或x= ，y=．
【分析】由△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，可知当，即时，△ABC∽△DEF；当，即时，△ABC∽△FED，继而求得答案．
解：∵△ABC与△DEF相似，∠B、∠E为钝角，
∴∠B=∠E，
∴当，即时，△ABC∽△DEF，
解得：x=6，y= ；
当，即时，△ABC∽△FED，
解得：x= ，y=，
∴x=6，y=或x= ，y=．
【点拨】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．
类型二、相似三角形性质定理与判定定理的综合
2．在△ABC和△ADE中，点E在BC上，已知∠B＝∠D，∠DAB＝∠EAC．
(1) 求证：△ABC∽△ADE；
(2) 若AC∥DE，∠AEC＝45°，求∠C的度数．

【答案】(1)见解析 (2)67.5°
【分析】
（1）根据∠DAB＝∠EAC，得∠DAE＝∠BAC，从而证明结论；
（2）根据平行线的性质得∠AED＝∠EAC，利用△ABC∽△ADE，得∠AED＝∠C，从而有∠EAC＝∠C，再利用三角形内角和定理可得答案．
(1)证明：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE；
(2)解：∵AC∥DE，
∴∠AED＝∠EAC，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠AEC＝45°，
∴∠C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠C的度数为67.5°．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，证明∠EAC＝∠C是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．

【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=90°，再证明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，则∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，从而得到结论．
解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∵AB是AD，BC的比例中项，
即AB2=AD•BC，
∴
而∠ABC=∠DAB，
∴△ABC∽△DAB，
∴∠ABD=∠ACB，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ACB+∠DBC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BD⊥AC．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
【变式2】已知，如图，AB//DC，∠ABC+∠ADB=180°.
(1) 求证：△ABD∽△BDC；
(2) 若AE平分∠DAB，BF平分∠DBC，且BF=2AE，S△ABD=3，求S△BDC

【答案】(1) 证明见分析 (2) 12
【分析】
（1）通过AB//DC可得到角度之间的等量关系，证明△ABD和△BDC中有两个角相等即可得到△ABD∽△BDC
（2）根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到S△ABD和S△BDC的比例，根据比例关系即可求出面积．
解：(1)∵AB//DC，
∴∠ABD=∠BDC，∠ABC+∠C=180°，
∵∠ABC+∠ADB=180°，
∴∠C=∠ADB，
在△ABD和△BDC中；
∠ABD=∠BDC，∠C=∠ADB，
∴△ABD∽△BDC；
(2)∵△ABD∽△BDC，
∴DC：BD=BF：AE=2：1；
∴S△BDC：S△ABD =（DC：BD）2=4：1；
∴S△BDC=12；
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练的掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解题的关键．注：相似三角形的面积比是相似比的平方．
类型三、证明相似三角形对应边成比例
3．如图，平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，
（1）求证：△EBC是等腰三角形；
（2）已知：AB=7，BC=5，求的值．

【答案】（1）见分析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到，结合题目条件给的角平分线，可以证明，再利用等腰三角形的判定证明是等腰三角形；
（2）证明，利用对应边成比例求出的比值．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理结合题目条件进行证明求解．
举一反三：
【变式1】如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E.
求证：.

【分析】根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平行线的性质及BC=CE可得出结论．
证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
∴BC=CE．
∵BE∥CD，
∴，
又∵BC=CE，
∴．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质．
【变式2】如图所示，在矩形中，是上一点，于点．
求证：．
若，，求的长．

【答案】(1) 详见分析; (2) 3.
【分析】
（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC=∠C=90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由（1）可知DF：AF=CE：DC，再结合已知条件即可求出CE的长．
证明：
∵四边形是矩形，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
∴，
即；
∵；
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了矩形与三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形与三角形的性质.
类型四、相似三角形的实际应用
4．李懿菲放学回家途经过一个足球场，如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=9.8米，已知足球门横梁AB=7.3米，高AE=BF=2.4米，试求路灯P距地面的高度．

【答案】路灯P距地面的高度为9.408m．
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．
解：∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，
∴，
∴，
∵AE∥PG，
∴，
∴，
∴PG=9.408（m），
答：路灯P距地面的高度为9.408m．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
举一反三：
【变式1】如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AD和BC表示起固定作用的两根钢筋，AD与BC的交点为M．一尺m，m，求M离地面的高度．

【答案】6
【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．
解：如图，过M作 而由题意可得


∵，
∴△ABM∽△DCM，
∴，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵，
∴△MDH∽△ADB，
∴
∴，
答：点M离地面的高度MH为6m．
【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．
【变式2】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时，已知树高米，楼房米，E处离地面25米．
(1) 求树与楼房之间的距离AB的长；
(2) 小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）

【答案】(1)(2)小亮向前走米刚好看不到楼房BD
【分析】
（1）根据30°直角三角形分别求出AF、BF的值即可；
（2）构造直角三角形，利用相似三角形的性质进行解答即可．
解：(1)∵，，，，
∴，，
∴，，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴小亮向前走米刚好看不到楼房BD．
【点拨】本题考查30°直角三角形、相似三角形的判断和性质，画出图形并利用相似三角形的性质是解决问题的前提．
类型五、网格中的相似三角形
5．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1) 在图1中画出△ABC的中线AD；
(2) 在图2中画线段CE，点E在AB上，使得：＝2：3；
(3) 在图3中画出△ABC的外心点O．
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)见分析
【分析】
（1）由题知BO=CO，取两个格点F、G构造，即可得中点D．
（2）由：＝2：3得AE：BE=2∶3，取格点H、J，构造，且相似比为2∶3，即可得到E点．
（3）由O为△ABC的外心知O为AB、AC的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O．
(1)如图1中，取格点F、G，连接FG交BC于点D，线段AD即为所求．
(2)如图2中，取格点H、J，连接HJ交AB于点E，线段CE即为所求．
(3)如图3中，取格点K、L、M、N，连接KL、MN交于点O，则点O为所求．

【点拨】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．

(1) 在图1中的线段AC上找一个点E，使
(2) 在图2中作一个格点ΔCDE，使ΔCDE与ΔABC相似．
【答案】(1)见分析(2)见分析
【分析】
（1）连接CF，过点G画CF的平行线，与AC交于点E即可；
（2）利用相似三角形的性质画出图形即可．
(1)解：如图，点E即为所求；
可知：△AEG∽△ACF，
∴；

(2)如图，△CDE，△CDE′，△CDE″即为所求作．

【点拨】本题考查作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】如图是由24个小正方形组成的网格图， 每一个正方形的顶点都称为格点， 的三个顶点都是格点. 请按要求完成下列作图， 每个小题只需作出一个符合条件的图形．

(1)在图1网格中找格点， 作， 使与相似， 且相似比为1： 2；
(2)如图 2， 仅用无刻度直尺在线段上找一点， 连结， 使将的面积分成1： 2两部分．
【答案】(1)见分析；(2)见分析
【分析】
（1）如图，取格点D、E、F，作△DEF，则△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；（2）取格点H、I、J、K，连接AH、KI与直线BC分别交于点G、G′，则AG或AG′即为所求．
(1)解：如图，△DEF即为所求．

∵AC=2，DF=1，AB=，DE=，BC=，EF=，
∴，
∴△DEF与△ABC相似， 且相似比为1： 2；
(2)解：如图，AG或AG′即为所求．

【点拨】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
类型六、利用相似三角形解决动点问题
6．如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．求两动点运动多长时间，以点、、为顶点的三角形与相似．

【答案】两动点运动2s或5s时，以点、、为顶点的三角形与相似
【分析】设运动的时间为，，，分两种情况：当∽，有，当∽，有，分别求出时间t即可；
解：设运动的时间为，，，
当∽，
，
，
解得
当∽，
，
，
解得
∴两动点运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定，此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PEBC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．
(1) CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）
(2) 连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？

【答案】(1)（4－t）cm；（5－1.25 t）cm(2)见分析
【分析】
（1）由点、点的速度可知，cm，cm，最终可求出cm，cm；
（2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，这一判定方法就可以解决此问．
(1)解：∵点P的速度为1cm/s，点Q的速度为1.25cm/s，
∴AP=tcm，BQ=1.25tcm
∴CP=（4-t）cm，CQ=（5-1.25t）cm．
故答案为：（4-t）cm；（5-1.25t）cm．
(2)解：由（1）知PC＝（4－t）cm，QC＝（5－1.25t）cm，
∴ ，
   ，                 
∴
∵∠C＝90°，
∴△ABC∽△PQC，
∴∠PQC＝∠B，
∴PQ//AB．
∴不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．
【点拨】本题考查了动点求值问题、相似三角形的判定（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）等知识．易错点：是第一问填空题小括号易遗忘．把握好线段之间的数量关系和相似三角形的判定方法是解决本题的关键．
【变式2】如图，是等边三角形，，点从点出发沿射线以的速度运动，过点作交射线于点，同时点从点出发沿的延长线以的速度运动，连结．设点的运动时间为．
(1) 求证：是等边三角形；
(2) 直接写出的长（用含的代数式表示）；
(3) 当点在边上运动，且不与点重合．
① 求证：；
② 当为何值时，？

【答案】(1)见分析(2)当时，；当时，．(3)①见分析；②t=1
【分析】
（1）利用，是等边三角形，即可证得是等边三角形；
（2）分两种情况进行讨论，①E点在AC上时，②E点在AC延长线上时，进行表示即可；
（3）①根据SAS证明； ②先判断出BP=CQ，进而列方程即可求t值．
(1)解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
(2)当时，
当时，．
(3)①当点在边上运动，则，，
，，，
∴
∵，
∴，
在与中，

∴，
②若，则，
∴

答：当时，
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定及分类讨论的数学思想，解题关键是深刻理解图形的运动过程．
类型七、相似三角形的综合问题
7．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）只要证明△DAE∽△CAD，可得，推出AD2＝AC•AE即可解决问题；
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出DF，再根据DF∥AC，可得，由此可得，再利用第一问的结论，即可解决问题；
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵，于，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴，
∴AD2＝AC•AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB•AE．
（2）解：如图，连接DF．

∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
∴DFAB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
∴，
∴
∵AD2＝AB•AE．
∴
∴．
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．

【答案】（1）证明见分析；（2）EB=2FD．
【分析】
（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；
（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．
解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；

（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EB=2FD．
【点拨】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．
【变式2】背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案）
（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系；
（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）
【答案】（1），；（2），；（3）260
【分析】
（1）延长DG交BE于M，交AB于N，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根据三角形内角和定理得到BE⊥DG；
（2）设与交于，与交于点，由比的性质求出、的值，由相似三角形的判定证得，由相似三角形的性质得出，，根据三角形和内角和定理得出，即；
（3）连接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出结论．
解：（1）延长DG交BE于M，交AB于   N，如图2，

∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，
∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，
即 ∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中，

∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠AND＝∠BNM，
∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，
故答案为：；；
（2），，理由如下：
设与交于，与交于点，如图3，
∵，，，
∴，．
∵四边形和四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．

（3）连接EG、BD，如图3
∵，，，
∴，．
∵四边形和四边形为矩形，
∴
∴，，
由（2）证得
，
∴．
【点拨】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．