数学九年级下册27.1 图形的相似导学案

专题27.4 相似多边形（知识讲解）

【学习目标】

1.理解并掌握相似多边形的定义，明确相似多边形的两个条件；

2.理解并掌握相似多边形的性质，相似比的意义；

3.运用相似多边形的两个条件证明多边形相似；

4.运用相似多边形的性质求线段长。

【要点梳理】

要点一：相似多边形的概念：

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。

要点二：相似多边形的性质：

性质1:相似多边形周长比等于相似比。

性质2:相似多边形对应对角线的比等于相似比。

性质3:相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。

性质4:相似多边形面积的比等于相似比的平方。

性质5:若相似比为1，则全等。

性质6:相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例。

性质7:相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

【典型例题】

类型一、相似图形

1．在菱形与菱形中，，这两个菱形相似吗？为什么？

【答案】菱形与菱形相似．理由见分析．

【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答．

解：在菱形与菱形中，设，

，，，

即菱形与菱形的对应角相等；

又菱形的四条边都相等，

两菱形的对应边成比例，

即菱形与菱形的对应边的比相等，

菱形与菱形相似．

【点拨】本题考查了相似多边形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和相似多边形的判定定理．

【变式1】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？

【答案】相似

【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案．

解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性．

【点拨】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断．

【变式2】将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？

【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．

解：∵三角形、矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，

∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，

∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，

∴变化前后的两个正方形相似．

【点拨】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．

类型二、相似多边形

2．图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．

【答案】不相似，理由见分析

【分析】根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可．

解：这两个多边形不相似．理由：

∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，

∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，

∴这两个多边形不相似．

【点拨】本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键．

【变式1】正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四边形AFEG的面积．

【答案】16

【分析】先证明四边形是正方形，再由相似的定义得出正方形正方形，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解．

解：∵四边形为中正方形，

∴，，

又EF⊥AB，EG⊥AD，

∴，

四边形是矩形，，

，

，

矩形是正方形，

四边形是正方形，

正方形正方形，

∵AE：EC=2：1，

∴AE：AC=2：3，

，

，

∴正方形AFEG的面积为16．

【点拨】本题考查了相似多边形的判定与性质，难度适中，证明四边形是正方形是解题的关键．

【变式2】如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由．

【答案】不相似．小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18．因为，，即这两个矩形的边不成比例，所以它们不相似

【分析】根据已知条件，可求出小路内侧矩形的长和宽分别为28，8；再把两个矩形的边分两种情况进行比值运算，结果，，即可得出答案．

解：不相似．理由如下：

因为草坪四周有宽的环行小路，

所以小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18；

因为，，即这两个矩形的边不成比例，

所以它们不相似．

【点拨】本题主要考查了相似图形的判定，即不仅要对应角相等，还要对应边成比例．

类型三、相似多边形的性质

3．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．

【答案】，，

【分析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解．

解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，

∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，

∴x：21＝24：18，解得x＝28．

在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．

∴∠G＝∠C＝67°．

故x＝28．

【点拨】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．

【变式1】如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．

(1)求的值；

(2)若，求矩形EFGH的面积．

【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2

【分析】

（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题；

（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题．

解：(1)根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，

∵矩形ABCD∽矩形EFGH．

∴，

∴，

整理，得2b＝a，

∴a：b＝2：1；

(2)∵a＝4，2b＝a，

∴b＝2，

∴矩形EFGH的面积

＝EF•HE

＝（120﹣2a）•（60﹣2b）

＝（120﹣8）（60﹣4）

＝112×56

＝6272（米2）．

答：矩形EFGH的面积为6272米2．

【点拨】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．

【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．

（1）求证：BF平分∠ABC；

（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．

【答案】（1）见分析；（2）

【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；（2）根据相似列出比例式求解即可．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB＝CD.

∴∠FAE＝∠AEB.

∵EF∥AB，

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AE平分∠BAD，

∴∠FAE＝∠BAE.

∴∠BAE＝∠AEB.

∴AB＝EB.

∴四边形ABEF是菱形．

∴BF平分∠ABC；

(2)∵四边形ABEF为菱形，

∴BE＝EF＝AB＝6.

∵四边形ABCD与CEFD相似，

∴＝，即＝.

解得,BC＝3±3．

∵BC＞0，

∴BC＝

【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．