初中数学27.2.2 相似三角形的性质同步练习题

第6课  相似三角形的性质及应用

知识点01  相似三角形的性质

相似三角形的性质及应用   

1．相似三角形的对应角       ，对应边的比       .

2. 相似三角形中的重要线段的比等于        .

     相似三角形         ，        ，         的比都等于相似比.

要点诠释：

要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.

3. 相似三角形周长的比等于相似比

 ∽，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽，则分别作出与的高和，则

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.

知识点02  相似三角形的应用

1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

相似三角形的性质及应用 

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法      影子测量法      手臂测量法       标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
　1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
　　

要点诠释：　

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
　　2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
　　3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

考法01   相似三角形的性质

【典例1】如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．

（1）求证：BD∥EF；

（2）若=，BE=4，求EC的长．

【即学即练1】在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

【典例2】已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，

且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
　　　　　　　　

【即学即练2】如图，已知中，，，，，点在上，        (与点不重合)，点在上.

(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.
　　(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

考法02  相似三角形的应用

【典例3】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．

【即学即练3】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.
　　　　　　　

【典例4】如图，正方形ABCB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015=　      　．

题组A  基础过关练

1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（    ）

A．只有1个　  B．可以有2个 　　C．有2个以上，但有限　　　 D．有无数个

2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（    ）．

A．1.8 　　　B．5 　　　C．6或4 　　　D．8或2

3. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）

A． B． C． D．

4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积 ：四边形ADGF的面积=(    ) 
　　A．1：2 　　　B．2：1 　　　C．2：3 　　　D．3：2
　　　　　　　　　　　　　　　　

5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）

　 A．= B． = C． = D．=

6．如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
　　S△DEF：S△EBF：S△ABF等于(    )

A.4：10：25　　　 B.4：9：25　 　　C.2：3：5　 　　D.2：5：25
　　
 

题组B  能力提升练

7.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于　　．

8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.

9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是

_______________.

10. 若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为　    　．

11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________

12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，

则AC边上的高为______________.

题组C  培优拔尖练

13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？
 

14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点，当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图1所示（图2为其几何图形）．其中AB⊥BC，DC⊥BC，EF∥BC，∠EAB=150°，AB=AE=1.2m，BC=2.4m．

（1）求图2中点E到地面的高度（即EH的长．≈1.73，结果精确到0.01m，栏杆宽度忽略不计）；

（2）若一辆厢式货车的宽度和高度均为2m，这辆车能否驶入该车库？请说明理由．

15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．