【备战2023高考】数学总复习——第02讲《复数》讲义（全国通用）

第2讲   复数

本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，

平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.

考点一 复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类：

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).

考点二 复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

考点三 复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

＝＝＋i(c＋di≠0).

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

考点四 常用结论

1.i的乘方具有周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.

3.复数的模与共轭复数的关系

z·＝|z|2＝||2.

4.两个注意点

(1)两个虚数不能比较大小；

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.

高频考点一  复数的概念

【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是(　　)

A.对应的点在第一象限   B.|z|<|z＋1|

C.z的虚部为i   D.z＋<0

【答案】D

【解析】∵z＝－1＋i，∴＝＝＝－－.

则对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋＝－2<0，故D正确.

【方法技巧】

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.

2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝a－bi，则z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，则＝z.

利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.

【变式训练】

1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝，则|z|＝(　　)

A.2  B.  C.   D.1

【答案】C

【解析】∵z＝＝＝，∴|z|＝＝.

高频考点二  复数的几何意义

【例2】 (2020·临沂质检)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

【答案】B

【解析】由＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，

∴即a＝－2，b＝－1，

∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.

【方法技巧】

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

【变式训练】

1.若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为(　　)

A.(－，)   B.(－，0)

C.(0，)   D.[0，)

【答案】B

【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴解得－<a<0.

2.(2022·郑州模拟)已知复数z1＝在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量与虚轴垂直，则z2的虚部为________.

【答案】－

【解析】z1＝＝＝－i，

所以A，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则＝，

又向量与虚轴垂直，∴y0＋＝0，故z2的虚部y0＝－.

 高频考点三   复数的运算

【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)

A.0   B.1  C.   D.2

(2)在数学中，记表达式ad－bc为由所确定的二阶行列式.若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝，z3＝2，则当＝－i时，z4的虚部为________.

【答案】(1)D　(2)－2

【解析】(1)法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.

法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.

(2)依题意，＝z1z4－z2z3，

因为z3＝2，且z2＝＝＝，所以z2·z3＝|z2|2＝，

因此有(1＋i)z4－＝－i，即(1＋i)z4＝3－i，

故z4＝＝＝1－2i.所以z4的虚部是－2.

 【方法技巧】

1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.

2.记住以下结论，可提高运算速度：

(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).

【变式训练】

1.(2022·南宁模拟)已知z＝(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是(　　)

A.－1   B.－2 

C.1   D.2

【答案】A

【解析】∵z＝＝＝＝2＋i，

∴＝2－i，∴的虚部为－1.

2.＋＝________.

【答案】－1＋i

【解析】原式＝＋

＝i6＋＝－1＋i.