【备战2023高考】数学总复习——第02讲《复合函数与幂函数》讲义(全国通用)
展开第2讲 复合函数与幂函数
本讲为重要知识点,题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察,主要通过对函数定义的理解解决抽象函数相关的问题,包括定义域和值域的一系列题型思想,对学生的逻辑思维能力包括对函数的理解需要透彻。此外增加一个基本初等函数中的幂函数,也是高中需要学习的函数之一。
考点一复合函数
1.复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),其中y=f(u)叫做复合函数y=f(g(x))的外层函数,u=g(x)叫做y=f(g(x))的内层函数.
2.函数的复合单调性的变化:
f(x)+g(x)=h(x) | f(x)-g(x)=h(x) |
增+增=增 | 增-增 |
增+减 | 增-减=增 |
减+减=减 | 减-减 |
减+增 | 减-增=减 |
注意:加同不变,减异随前。
3.复合函数的单调性变化
内函数 | 外函数 | |
增 | 增 | 增 |
增 | 减 | 减 |
减 | 增 | 减 |
减 | 减 | 增 |
注意:同增异减,即内外函数单调性相同时,单调性递增;反之,递减。
考点二 幂函数
1.幂函数的定义
一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
2.5个常见幂函数的图象与性质
函数 | y=x | y=x2 | y=x3 | y=x-1 | ||
定义域 | R | R | R | {x|x≥0} | {x|x≠0} | |
值域 | R | {y|y≥0} | R | {y|y≥0} | {y|y≠0} | |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶 函数 | 奇函数 | |
单调性 | 在R上单调递增 | 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 | 在R上单调递增 | 在(0,+∞)上单调递增 | 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 | |
图象 | ||||||
过定点 | (0,0),(1,1) | (1,1) | ||||
高频考点一 已知f(x)定义域,求f(g(x))的定义域
例1、已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1、若函数的定义域为,则函数的定义域为______.
【基本规律】
1、抽象函数求解解析式:
2、求解定义域就是求解x的取值范围;
3、f( )相同(对应法则相同条件)下“( )”内取值范围相同。
注意:抽象函数求解定义域问题时要考虑定义域范围内的单调性问题。
高频考点二 已知f(g(x))定义域,求f(x)的定义域
例2、已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x)的定义域是( )
A.[0,5] B.[-1,4] C.[-3,2] D.[-2,3]
【变式训练】
1、已知的定义域为,则的定义域为 ( )
A. B. C. D.
高频考点三 已知f(g(x))定义域,求f(h(x))的定义域
例3、已知函数的定义域为,则的定义域为( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
1、已知函数定义域为 ,则函数的定义域为_______.
高频考点四 复合函数定义域
例4、已知函数的定义域为,则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
1、已知函数的定义域为,若,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
高频考点五 抽象函数的值域
例5:是上的奇函数,是上的偶函数,若函数的值域为,则的值域为_____________.
【变式训练】
1. 已知定义在R上的函数满足对任意实数x,都有,且,则________.
高频考点六 复合函数的值域
例6、已知定义在R上的函数满足,若函数在区间上的值域为,则在区间上的值域为__________.
【变式训练】
1. 若函数的值域是,则函数的值域为 __.
高频考点七 幂函数
例7、现有下列函数:①;②;③;④;⑤;⑥;⑦,其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式训练】
幂函数在上单调递减,则的值为______.
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