【备战2023高考】数学总复习——专题05《平面向量与复数》测试(全国通用)
展开专题05 平面向量与复数
能力提升检测卷
时间:60分钟 分值:100分
一、选择题(每小题只有一个正确选项,共60分)
1.已知复数和满足,且,则的最小值是( )
A. B.2 C.3 D.1
2.已知正三角形ABC的边长为4,点P在边BC上,则的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.
3.已知向量 ,满足, ,,则( )
A. B. C. D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
5.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若,,,则=( )
A. B.
C. D.
6.已知向量,,满足,,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中,若点满足,点为的中点,则( )
A. B.
C. D.
8.已知M,N为单位圆O∶上的两个动点,且满足,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
9.是坐标原点,已知,,.若点M为直线上一动点,当取得最小值时,此时( )
A. B. C. D.
10.数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并给出以下公式,(其中是虚数单位,是自然对数的底数,),这个公式在复变论中有非常重要的地位,被称为“数学中的天桥”,根据此公式,有下列四个结论,其中正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知复数
①在复平面内对应点的坐标为(1,-1);
②复数的虚部为;
③复数的共轭复数为;
④;
⑤复数是方程在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若复数是虚数,则实数取值的集合是( )
A. B. C. D.
二、填空题(共4小题,共20分)
13.在正方形中,,点在正方形区域内(含边界),且满足,则的最大值为________.
14.设两个向量和=,其中为实数.若,则的取值范围是________.
15.已知平面向量,其中,的夹角是,则____________;若为任意实数,则的最小值为____________.
16.已知复数,则____________,_____________
三、解答题(共20分)
17.如图,在四边形中,,,,为等边三角形,是的中点.设,.
(1)用,表示,,
(2)求与夹角的余弦值.
18.已知向量,,.
(1)若点,,三点共线,求的值;
(2)若为直角三角形,且为直角,求的值.
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