【备战2023高考】数学总复习——第02讲《等式性质与不等式》讲义(全国通用)
展开第2讲 等式性质与不等式
本讲为高考重要知识点,题型主要和其他知识结合考察,属于工具型知识点,梳理等式性质的基础上,通过类比,研究不等式的性质,并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方程和不等式的数学思想。
考点一 等式性质与不等式的性质
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b⇔a-b>0;
(2)a=b⇔a-b=0;
(3)a<b⇔a-b<0.
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔b<a;
(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;
(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;
(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);
(6)可开方:a>b>0⇒> (n∈N,n≥2).
考点二 基本不等式
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2 (简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
注意:
1.≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
2.ab≤≤.
3. (a>0,b>0).
高频考点一 等式性质与不等式性质
例1、已知,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【变式训练】
1.若,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
高频考点二 “1”的代换型
例2、已知x,y均为正实数,且,则x+3y的最小值为__________
【变式训练】
1.已知,,,则的最小值为( )
A.20 B.24 C.25 D.28
2.已知,,,则的最小值为( )
A.13 B.19 C.21 D.27
3.已知正实数,b满足+b=1,则的最小值为_____
【做题技巧】
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
高频考点三 “和”与“积”互消型
例3、 已知x、y都是正数,且满足,则的最大值为_________.
【变式训练】
1.已知,,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知,且,则的最小值为___________.
【基本规律】
1.有“和”、“积”无常数,可以同除,化回到“1”的代换型。如变式1;
2.有“和”、“积”有常数求积型,可以借助基本不等式构造不等式求解,如典例分析;
3..有“和”、“积”有常数求和型,可以借助基本不等式构造不等式求解,如变式2。
高频考点四 以分母为主元构造型
例4、已知非负数满足,则的最小值是( )
A.3 B.4 C.10 D.16
【变式训练】
1.已知,且,则的最小值为( )
A.9 B.10 C.11 D.
2.已知正数、满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.设,则的最小值为( )
A. B. C.4 D.
【基本规律】
构造分母型:
1.以分母为主元构造,可以直接分母换元,变化后为“1”的代换,如典例分析
2.构造过程中,分子会有分母参数的变化,可以分离常数后再构造分母,如变式2
3.变式3是三项构造,且无条件等式。
高频考点五 构造分母:待定系数
例5、已知正实数,满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1.知正实数、满足,则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知,,,则取到最小值为 .
【基本规律】
特征:条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法:直观凑配或者分母换元
高频考点六 分子含参型:分离分子型
例6、若,则的最小值为___________.
【变式训练】
1.已知正实数满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
2.若,且,则的最小值为_________
3.若正实数x,y满足2x+y=2,则的最小值是_____.
【方法总结】
1.分离分子原理题,如典例分析
2.分子二次型换元分离,如变式2
3.分子二次型凑配构造分离,如变式3
高频考点七 反解代入型:消元法
例7、已知正数,满足,则的最大值为______.
【变式训练】
1.已知,,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.若正数,满足,则的最小值是______,此时______.
3.若正实数满足,则的最小值为___________.
【方法总结】
条件等式和所求等式之间互化难以实现,可以借助反解代入消元,再重新构造。
高频考点八 反解代入型:消元法
例8、非负实数满足,则的最小值为___________.
【变式训练】
1.已知,且,则的最小值是___.
2.已知,且,则的最小值等于_______.
【方法总结】
特征:条件式子复杂,一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次),可能就符合因式分解原理
高频考点九 均值用两次
例9、是不同时为0的实数,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
1.设正实数满足,不等式恒成立,则的最大值为 ( )
A. B. C. D.
2.已知,,则的最小值为___________.
3.已知正实数,,满足,则的最小值为______.
【方法总结】
两次均值,逐次消去,取等条件一致
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