高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列公开课课件ppt

环节二 等比数列的前n项和公式（1）

引入新课

研究数列问题的思路：

探究新知

为了研究这个问题，我们需要弄清楚:

问题1：回顾等比数列的定义及通项公式．

（1）等比数列的定义：

（2）等比数列的通项公式：

问题2：国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第1个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4 颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．

追问1：国王一共应该给他多少颗麦粒？

答案：．

追问2：如何计算？

答案：让我们分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和．我们要计算这个式子，不借助计算器，需要花大量的时间．于是我们自然而然的想到能否借用等比数列的求和公式．

追问3：如何求一个等比数列的前项的和呢？

追问4：等差数列有求和公式，那么你能否类比等差数列前项和公式的求法推导出等比数列的前n项和？

答案：等差数列的前n项和公式推导过程．

等差数列，，的前项和是．

根据等差数列的定义．

．

．

将上述两式相加，得．

所以．

我们用倒序相加的方法推导出了等差数列的前项和公式．于是我们就可以用等差数列的首项和第项表示前项和．

本质上是根据等差数列的定义：，从公差为这一特性出发，抓住倒序后两式中上下对应的和均为这一特点，构造相同项，消除项与项之间的差异，进而化繁为简，推出公式．

追问5：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？可否用等比数列的首项和第项表示等比数列前项和？

答案：．

．

因为在等比数列中，

所以．

尝试过后发现行不通，因此等比数列的前项和公式不能用倒序相加法推导．

反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的．

追问6：求和的根本目的是什么？

答案：我们透过现象看本质，如何在等比数列前项和中构造相同项，消除项与项之间的差异，消除中间项，从而化繁为简是解决问题的关键．等差数列求和是根据定义，由公差切入．自然，等比数列求和也应根据定义，联系公比来探究．

改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示．

即 ①

追问7：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

答案：关注等比数列的定义，如果对其稍加变形，就会发现，即等比数列中的每一项乘以都等于其后一项．因此，我们类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子，而要达到消出中间项的目的，就须使两式具有最多相同的项．

追问8：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？

答案：想要消除中间项，即需要构造

观察发现，这个式子的每一项都是在原式基础上乘以．

  ②

于是将①式的两边都乘，由此构造相同项，得到②式，再将两个式子相减．

具体推导过程如下：

设等比数列的首项为，公比为，

则的前项和是．

根据等比数列的通项公式，上式可写成

①

我们发现，如果用公比乘①的两边，可得

②

①、②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得

，即．

追问9：要求出，是否可以把上式两边同时除以？

答案：当时，即时，（1）

当时，即时，．

注意：因为，所以公式（1）还可以写成（2）

思考：什么时候用公式（1）, 什么时候用公式（2）?

答案：当已知时用公式（1）；当已知时，用公式（2）．

方法小结：

（1）等比数列的前项和公式：

（2）等比数列求和时，应考虑与两种情况；等差、等比这两种数列求和公式的推导方法，从数学思想上来讲是一致的，我们需要挖掘其本质．

求和公式的推导过程其根本目的是消项，结合等比数列自身的特征利用错位相减法得到等比数列前项和公式．

问题2的解决：有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了．

由，可得．

这个数很大，超过了．如果一千颗麦粒的质量约为，那么以上这些麦粒的总质量超过了亿吨，约是年度世界小麦产量的倍．因此，国王根本不可能实现他的诺言．

知识应用

例1 已知数列是等比数列．

（1）若，求；

（2）若，求；

（3）若，求．

解：（1）若，求；

要求等比数列的前8项和，可以通过求和公式或．第一个公式需要知道，第二个公式需要知道，根据题意我们选择第一个公式进行计算．

因为，所以．

（2）若，求；

要求等比数列的前8项和，可以通过，或者，根据题意我们知道了，因此可以先求出公比，从而在通过等比数列求和公式进行计算．

由，可得，．

又由，得．

所以．

追问1：能否直接用公式（2）求？

答案：可以，但需要先求出公比和．

（3）若，求．

等比数列求和公式有两种，或．每个公式所需要得基本量各不相同，本题中给出了的值，因此可以通过公式，联系方程思想求出的值．

把代入，得．

整理，得．解得．

追问2：对于等比数列的相关量，已知几个量就可以确定其他量？

答案：等比数列通项公式结合前项和公式涉及五个量，五个量“知三求二”（方程思想）．

课堂小结

1．等比数列的前项和公式：

2．等比数列前项和公式的推导方法：错位相减法．

3．数学思想：有了等比数列前项和公式，如果已知，五个量中的任意三个，就可以求出其余两个，这体现了方程思想在数列中的应用． “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．