人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示一等奖ppt课件
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环节一 空间直角坐标系
【引入新课】
思考:在平面向量中,我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系,从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地,为了把空间向量的运算化归为数的运算,能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底,建立空间直角坐标系,进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?
【探究新知】
为了研究这个问题,我们需要弄清楚:
问题1:类比平面直角坐标系,你能猜想如何构建空间直角坐标系吗?
追问1:平面直角坐标系包含哪些要素?类比到空间直角坐标系应该有哪些要素?它们需要满足什么条件?
答案:
坐标系三要素 | 平面直角坐标系 | 空间直角坐标系 |
原点 | 坐标原点O | 坐标原点O |
坐标轴 | 互相垂直的两条坐标轴轴和轴 | 三条互相垂直的坐标轴 |
单位长度 | 单位长度 | 单位长度 |
追问2:利用单位正交基底概念,我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间,你能否给出空间直角坐标系的定义呢?
答案:空间直角坐标系定义:在空间选定一点和一个单位正交基底, , . 以点为原点,分别以,,的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分.
追问3:空间直角坐标系如何画呢?
答案:先回想平面直角坐标系的画法:在平面内画两条与单位正交基底向量,方向相同的数轴轴和轴,它们互相垂直、原点重合.
与画平面直角坐标系相比,画空间直角坐标系只是多画一个与轴、轴都垂直的轴而已,所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法,在画空间直角坐标系时,让轴与轴所成的角为(或),即(或),画轴与轴垂直,即.
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
问题2: 在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢?
追问1:空间中任意一点与哪个向量的坐标相同?
答案:在平面直角坐标系中,点的位置由向量唯一确定,类比到空间直角坐标系中,我们可知点的坐标与从原点出发的坐标相同. 由此,确定空间直角坐标系中点的坐标,可以从确定与之对应的,以原点为起点,该点为终点的向量的坐标入手.
追问2:在空间直角坐标系中如何定义的坐标呢?
答案:
平面直角坐标系内 | 空间直角坐标系内 |
取与轴、轴方向相同的两个单位向量,,为基底,由平面向量基本定理,有且只有一对实数,使得.我们把有序数对叫做的坐标,记作. | 取与轴、轴、轴方向相同的两个单位向量,,,为基底,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组使得,我们把有序实数组叫做的坐标,记作. |
所以,在单位正交基底,,下与向量对应的有序实数组,,,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记做,,,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标.
追问3:那么对于给定的向量又该如何定义它的坐标呢?
答案:因为空间向量是自由的,我们在空间直角坐标系中可以作. 由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,,,使,有序实数组,,叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记为,,
这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
问题3: 在空间直角坐标系中,对空间任意一点,或任意一个向量,你能借助几何直观确定它们的坐标吗?
答案:过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面,依次交轴、轴和轴于点,和. 可以证明在轴、轴、轴上的投影向量分别为,,,由向量加法的意义可知,,,即. 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是,和,那么,即点或者向量的坐标就是,,.
思路小结:目前,我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点或任意一个向量的坐标呢?
【知识应用】
例1 如图,在长方体中,,,,以,,为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出,,,四点的坐标;
(2)写出向量,,,的坐标.
追问1:题目条件中的,,为什么是单位正交基底?
答案:由图可知,在轴上,且,所以.
同理,在轴上,在轴上,由,知,,,所以,,是单位正交基底,等同于我们前面用到的,,.
追问2:求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路?
答案:有两种选择,一种是转化为求与该点对应的,从原点出发,指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理,把空间向量用单位正交基底分解,从而求出坐标;另一种是应用几何直观,找出空间点在轴、轴、轴上的射影,进而得到坐标.
思路小结:由几何直观可知,确定空间中一个点的坐标,我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影,再根据空间向量基本定理,得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下:
(1)过空间点分别作轴、轴和轴的垂面;
(2)确定空间点在坐标轴上的射影的坐标;
(3)得到空间点的坐标.
解:
(1).
(2)
.
问题4:回顾本节课的学习过程,我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的?
答案:(1)类比平面直角坐标系,构建了空间直角坐标系.(2)根据空间向量基本定理,在单位正交基底下,得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组,,与之对应,从而引出空间点和空间向量的坐标表示.
问题5:如何求空间点或向量的坐标呢?
答案:(1)根据空间向量基本定理,将点或向量用单位正交基底,,来表示,它们的系数就是点或向量的坐标.(2)由几何直观,过点作垂直于轴、轴和轴的平面,依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量,根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.
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