【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)选修第一册 第三章《圆锥曲线的方程》（章节综合测试）（含解析）

第三章 圆锥曲线的方程 考点达标练 一、单选题 1．若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为双曲线的渐近线方程为，而，所以， 故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为． 故选：A． 2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 抛物线的焦点为， 双曲线的一条渐近线可设为，即，焦点到的距离为 . 故选：B. 3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（       ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 4．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造饮就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 双曲线的渐近线方程为，下焦点为， 因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2， 所以， 因为焦距为，所以， 所以， 所以 所以双曲线的渐近线方程， 故选：B 5．已知椭圆与圆，过椭圆的顶点作圆的两条切线，若两切线互相垂直，则椭圆的离心率是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意可知，若两切线垂直，则过椭圆的左右顶点作圆的切线. 两切线垂直，只需要,所以 故选：B 课后培优练级练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点对应的准线的距离为（       ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【详解】 令椭圆二焦点分别为，显然椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距，离心率， 由对称性不妨令，则由椭圆第一定义知， 由椭圆第二定义得点P到焦点对应准线的距离. 故选：D 2．已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为双曲线的一条渐近线为,所以, 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 3．抛物线的焦点到准线的距离为（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】 由，焦点到准线的距离是， 故选：D. 4．已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由双曲线定义可得： |PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1| ≥8a， 当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时 由双曲线的几何性质可得，，即可，又双曲线的离心率，∴. 故选:C. 5．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由抛物线的定义可知，，所以． 故选：C. 6．已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（        ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【详解】 由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线. 故选：C 7．已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（       ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】 由题意知，点与圆上的点之间的最小距离为，所以． 故选：D 8．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：因为离心率，解得，， 分别为C的左右顶点，则， B为上顶点，所以. 所以，因为 所以，将代入，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B. 9．已知为双曲线的左､右焦点，点P在E上，的平分线交x轴于点D，若，且，则双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据双曲线的对称性不妨设点P在右支上， 因为，， 所以解得， 因为角平分线的上点到角的两边距离相等， 所以， 两边平方化简为：， 在三角形中，由余弦定理可知： 而，解得， 故选：B 10．已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（       ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】 记的内切圆圆心为C，边上的切点分别为M，N，E， 则C，E横坐标相等，则， 由，即，得，即，记C的横坐标为，则， 于是，得，同理的内心D的横坐标也为a， 则有轴，由直线的倾斜角为，则，， 在中，，可得， 在中，，可得， 可得． 故选：B 二、多选题 11．已知为曲线上一动点，则（       ） A．的最小值为2 B．到直线的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】BCD 【详解】 由题意，曲线，化简可得， 则曲线为抛物线的右班部分，如图所示， 因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值， 最小值为，所以B正确； 对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为， 则， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以D正确. 故选：BCD. 12．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦点作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是（       ） A．椭圆C的方程为 B．椭圆C的方程为 C． D．的周长为 【答案】AC 【详解】 由题意得：，所以，因为，，解得：，，因为焦点在y轴上，所以椭圆C的方程为，A正确，B错误；不妨设，则P，Q两点的纵坐标也为，令中，解得：，所以不妨令，，所以，C正确；根据椭圆的定义可知，的周长为，故D错误. 故选：AC 三、解答题 13．已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若． （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求椭圆的方程． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】(1) 设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即． 又因为，解得．所以，椭圆的离心率为 (2) （ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为． 由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立， 可解得，即点的坐标为． 由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为． （ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为． 由（ⅰ）得直线的方程为 与椭圆方程联立 消去整理得 解得（舍去）或． 因此可得点， 进而可得 所以．得． 所以，椭圆的方程为 14．已知抛物线（为常数，）的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的直线与抛物线交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1) 解：因为椭圆的右焦为，所以， 所以，即， 所以抛物线的标准方程； (2) 解：由（1）可知，直线的方程为， 联立方程，得， 设， 所以, 所以. 15．离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合． (1)求抛物线的方程； (2)过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1) 由已知：双曲线焦距为，离心率为，则长轴长为2， 故双曲线的上顶点为，即为抛物线焦点. ∴抛物线的方程为； (2) 设，，，故直线的方程为，即， 所以，同理可得：， ∴，是方程的两个不同的根，则， ，由恒在以为直径的圆内， ，即． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．已知圆与抛物线的准线相切，则（       ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】 因为圆的圆心为，半径为， 抛物线的准线为， 所以， ∴， 故选：C. 2．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 直线交x轴于，交y轴于，依题意，， 所以椭圆方程为. 故选：B 3．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由可知， ，且双曲线焦点位于x轴上 故该双曲线的渐近线方程为 ， 故选：C 4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得， 所以，即. 故选：B 5．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（       ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】 解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得： 所以.∵， 当时，，当时，， ∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是. ∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是， 故选：B. 解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，， 故选：B. 6．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为， 因为点在抛物线上， 所以，得， 所以， 由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为离心率为，所以， 所以，得， 因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以，得， 所以由，得， 所以双曲线的方程为，即， 故选：C 二、多选题 7．已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（       ） A． B．动点Q的轨迹方程为 C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为 【答案】ABD 【详解】 对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确； 对于B：设 ，由，得两式相乘得，同理可得， 由题意知且，否则与矛盾， 动点的轨迹方程为，即直线，故正确； 对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离， min， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 8．已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（       ） A． B． C．的面积为 D．的面积为1 【答案】BD 【详解】 ，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误； 因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误． 故选：BD． 三、解答题 9．设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若，为抛物线上异于点的两点，且，设直线的方程为，点，到直线的距离分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】(1) 解：抛物线的焦点，准线方程为， 因为是抛物线上一点，， ，即， 抛物线的方程为， (2) 证明是抛物线上一点， ， ， ， 设，， 又直线的方程， 联立直线与抛物线方程，化简整理可得，，即， ， 点到直线的距离为， ， 又， 用代入，可得，， ，即为定值． 10．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 由，得（c为半焦距）， ∵点在椭圆E上，则． 又，解得，，． ∴椭圆E的方程为． (2) 由（1）知．设直线，，． 由消去x，得． 显然． 则，． ∴． 由，，得直线AP的斜率，直线的斜率． 又，，， ∴．∴． ∵． ∴． 培优第三阶——高考沙场点兵 一、单选题 1．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：， 设，则， 则， 故， 又，则， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故选：A. 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（       ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】 由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（       ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】 设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 4．已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示. （1）求抛物线的标准方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】解：（1）由椭圆可知，， 所以，，则， 因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为， 所以，即. 所以抛物线的标准方程为. （2）由椭圆可知，， 若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求. 所以直线的斜率存在，设为，直线过点， 则直线的方程为， 设点，， 联立方程组， 消去，得.① 因为直线与抛物线有两个交点， 所以，即， 解得，且. 由①可知， 所以， 则， 因为，且， 所以， 解得或， 因为，且， 所以不符合题意，舍去， 所以直线的方程为， 即. 5．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 (1) 右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴． ∴C的方程为：； (2) 由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符； 总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为,直线方程为, 则条件①在上，等价于； 两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设, 则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得： ， ,即, 即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为, ∴由, ∴, 所以直线的斜率, 直线,即, 代入双曲线的方程,即中， 得：, 解得的横坐标：, 同理：， ∴ ∴, ∴条件②等价于， 综上所述： 条件①在上，等价于； 条件②等价于； 条件③等价于； 选①②推③: 由①②解得：,∴③成立； 选①③推②： 由①③解得：，， ∴，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立.