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- 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 1 次下载
- 2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 0 次下载
- 2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 0 次下载
- 2.3 第2课时 一元二次不等式的综合应用(分层练习)-2022-2023学年高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第一册) 试卷 0 次下载
人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀第1课时同步练习题
展开2.2 第1课时 基本不等式的证明
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.对x∈R且x≠0都成立的不等式是( )
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
2.已知x>0,y>0,x≠y,则下列四个式子中值最小的是( )
A. B. C. D.
3.设M=a+(2<a<3),N=x(4-3x),则M,N的大小关系为( )
A.M>N B.M<N C.M≥N D.M≤N
4.下列不等式的推导过程正确的是________.
①若x>1,则x+≥2=2.
②若x<0,则x+=-≤-2=-4.
③若a,b∈R,则+≥2=2.
5.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是________(填序号).
①≥;②a-b≥2;③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab.
6.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
7.已知a,b,c∈R,a+b+c=1,求证:++≤1.
8.已知x,y,z都是正数,求证:(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz.
能 力 练
综合应用 核心素养
9.若0<a<b,a+b=1,则a,,2ab中最大的数为( )
A.a B.2ab C. D.无法确定
10.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )
A.a+b+≥2 B.≥ C.≥a+b D.(a+b)≥4
11.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
12.给出下列结论:
①若a>0,则a2+1>a.
①若a>0,b>0,则≥4.
③若a>0,b>0,则(a+b)≥4.
④若a∈R且a≠0,则+a≥6.
其中恒成立的是________.
13.设a>b>c,且+≥恒成立,求m的取值范围.
14.设y=x+,求y的取值范围.
15.已知x>0,y>0,z>0.求证:≥8.
16.已知a>0,b>0,a+b=1,求证≥9.
【参考答案】
1.D 解析:因为x∈R且x≠0,所以当x>0时,x+≥2;当x<0时,-x>0,所以x+=-≤-2,所以A、B都错误;又因为x2+1≥2|x|,所以≤,所以C错误,故选D.
2.C解析:解法一:∵x+y>2,∴<,排除D;∵==>=,∴排除B;∵(x+y)2=x2+y2+2xy<2(x2+y2),∴>,排除A.
解法二:取x=1,y=2.则=;=;=;==.其中最小.
3.A 解析:M=a+=a-2++2>4,N=x(4-3x)=×3x(4-3x)≤×2=4.
∴M>N.
4.② 解析:①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=时,即x=1时,x+≥2等号成立,因为x>1,所以x+>2,③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.
5.③ 解析:根据≥ab,≥成立的条件判断,知①②④错,只有③正确.
6.证明: 因为a,b,c都是正数,所以,,也都是正数.所以+≥2c,+≥2a,+≥2b,
三式相加得2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时取等号.
7.∵≤,≤,≤,
∴++≤=1.
故原不等式成立.
8.证明: ∵x,y,z都是正数,
∴x+y≥2,y+z≥2,z+x≥2,
∴(x+y)(y+z)(z+x)≥2·2·2=8xyz.
当且仅当x=y=z时,等号成立.
9. C 解析:选C.因为0<a<b,a+b=1,所以a<,
因为ab<=,所以2ab<,则a,,2ab中最大的数为,故选C.
10. ACD 解析:选B.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=即a=b=时取等号,故A一定成立.
因为a+b≥2>0,所以≤=,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立.
因为≤=,当且仅当a=b时取等号,
所以==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,
所以≥,所以≥a+b,故C一定成立.
因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立,故选B.
11.B 解析:(x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2.∵(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴(+1)2≥9.∴a≥4.
12.①②③ 解析:因为(a2+1)-a=2+>0,所以a2+1>a,故①恒成立.
因为a>0,所以a+≥2,因为b>0,所以b+≥2,所以当a>0,b>0时,≥4,故②恒成立.
因为(a+b)=2++,又因为a,b∈(0,+∞),所以+≥2,所以(a+b)≥4,故③恒成立.
因为a∈R且a≠0,不符合基本不等式的条件,故+a≥6是错误的.
13.解:由a>b>c,知a-b>0,b-c>0,a-c>0.
因此,原不等式等价于+≥m.
要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m即可.
因为+=+=2++≥2+2 =4,
当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立.
所以m≤4,即m∈{m|m≤4}.
14.解:当x>0时,y=x+≥2=2.
当且仅当x=,即x=1时取“=”.
当x<0时,y=x+=-[(-x)+]
∵(-x)+≥2
∴-[(-x)+]≤-2.
当且仅当x=时,即x=-1时取“=”.
∴y的取值范围为{y|y≤-2或y≥2}.
15.证明:因为x>0,y>0,z>0,所以+≥>0,+≥>0,+≥>0,
所以≥=8,当且仅当x=y=z时等号成立.
16.证明: 证法一:因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+=1+=2+,同理1+=2+,
故==5+2≥5+4=9.所以≥9(当且仅当a=b=时取等号).
证法二:因为a,b为正数,a+b=1.所以=1+++=1++=1+,
ab≤2=,于是≥4,≥8,因此≥1+8=9.
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