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【培优分级练】人教版数学九年级上册 25.1《随机事件与概率》培优三阶练（含解析）
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25.1随机事件与概率 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．下列事件中是不可能事件的是（ ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水中捞月 D．百步穿杨 【答案】C 【详解】 解：A.守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B. 旭日东升是必然事件，故选项不符合； C.水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项符合； D.百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选：C. 2．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 【答案】B 【详解】 解：A、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意； B、将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上，故该选项是必然事件，该选项符合题意； C、车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币，不一定正面向上，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意． 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（ ） A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 C．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件 D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生 【答案】C 【详解】 A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是随机事件，选项错误，不符合题意； B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，选项错误，不符合题意； C．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，选项正确，符合题意； D．可能性是50%的事件，是指试验发生的可能性为50%，两个试验中每个试验的可能性依然是50%，选项错误，不符合题意； 故选C． 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A．15个 B．20个 C．25个 D．30个 【答案】A 【详解】 解：多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.27和0.43， 摸到红色球、黑色球的概率分别为0.27和0.43， 摸到白球的概率为， 口袋中白色球的个数可能为． 故选：A． 5．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图形可知，黑色区域的面积为6块地板，总区域的面积为16块地板， 故黑色区域的概率为． 故选A． 6．北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（ ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 【答案】D 【详解】 解：共有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”“雪容融”， 小红抽到三种邮票的可能性相同，抽到的概率都是； 故选：D． 二、填空题 7．“在只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗白棋”是____________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【详解】 必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；不肯事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件． 在只装有黑色围棋的盒子中一定不可能摸出白球； 故答案为：不可能 8．转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大． 【答案】2 【详解】 解：指针落在标有1的区域内的可能性是； 指针落在标有2的区域内的可能性是； 指针落在标有3的区域内的可能性是； 所以指针指向标有数字2的区域的可能性最大， 故答案为：2． 9．某体育频道播放体育比赛与广告时间之比为8：1，广告随机地穿插在体育比赛之间，小明随机地打开电视机收看该频道，他开机就能看到体育比赛的概率为______． 【答案】 【详解】 解：小明随机地打开电视机收看该频道，他开机就能看到体育比赛的概率为． 故答案为：． 10．一个不透明的袋子中装有个球，分别标有，，这三个号码，这些球除号码外都相同．搅匀后任意摸出一个球，摸到号码是的球概率为，则号码的值是______． 【答案】1 【详解】 解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．某商场根据第二季度某品牌运动服装的S号、M号、L号、XL号、XXL号销售情况绘制了如图所示的不完整的两幅统计图．根据图中信息解答下列问题： (1)第二季度该品牌运动服装的销售总量是________件，扇形统计图中XXL号服装销量占总量的百分比是________，XL号所对应的圆心角度数是________； (2)请补全条形统计图； (3)从M号、XL号运动服装中按照M号，XL号运动服装的销量比，分别取出一定数量的运动服，再取若干件XXL号运动服装，将它们放在一起共30件，现从这些运动服装中，随机取出1件，若取得M号运动服装的概率为，求取出了XXL号运动服装多少件？ 【答案】(1)200，10%，54°；(2)见解析；(3)取出了3件XXL号运动服装 【解析】 （1）解：60÷30%＝200（件），×100%＝10%，1−25%−30%−20%−10%＝15%，360°×15%=54°，故答案是：200，10%，54°； （2）解：S号服装销量：200×25%＝50（件），L号服装销量：200×20%＝40（件），XL号服装销量：200×15%＝30（件），条形统计图补充如下： （3）解：∵取得M号运动服装的概率为，且共30件，∴M号运动服装为，∵M号，XL号运动服装的销量比为2：1，∴XL号运动服装为，∴XXL号运动服装为．即取出了3件XXL号运动服装． 12．暑假将至，某大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动，活动规定：购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会（转盘质地均匀，且被分为五个区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖），转盘指针停在哪个获奖区域就可以得到该区域相应等级奖品一件，（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．大卖场工作人员在制作转盘时，将各扇形区域圆心角分配如下表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)若某顾客购物300元，则他获奖的概率为_____________； (2)若甲顾客购物520元并参与活动，求他获得双肩包的概率； (3)若乙顾客购物600元并参与活动，求他获奖的概率． 【答案】(1)0；(2)；(3) 【解析】 （1）解：∵顾客购物300元，300<500，∴顾客不能进行抽奖，∴获奖概率为0，故答案为：0； （2）P（获得双肩背包）=答：获得双肩背包的概率是； （3）P（获奖）=答：获奖的概率是． 13．一个不透明的口袋里装有个红球，个白球，个黄球，这些球除颜色外都相同．小星和小红做摸球游戏． (1)小星从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率； (2)小红认为口袋里共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗？说明理由． 【答案】(1)；(2)小红的认为不对，见解析 【解析】 （1）解：∵口袋中有个红球，个白球，个黄球，∴从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率； （2）解：小红的认为不对．∵摸到白球的概率为，摸到黄球的概率为，∴小红的认为不对． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（ ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【答案】A 【详解】 解：， 用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 2．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】 解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．a是实数，则 B．一匹马奔跑的速度是每秒100米 C．任意一个三角形都有外接圆 D．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 【答案】B 【详解】 解：A. a是实数，则是必然事件，故选项A不符合题意； B. 一匹马奔跑的速度是每秒100米是不可能事件，故选项B符合题意； C. 任意一个三角形都有外接圆是必然事件，故选项C不符合题意； D.抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6是随机事件，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解∶设布袋中红球的个数为x个， ∵任意摸出一个球是黄球的概率是， ∴， 解得∶x=1， ∴P（摸到红球）=． 故选A． 5．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示： 正六边形的内角为， 在中，，则， ， 在中，，则， 则灰色部分面积为， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为两部分面积之和为， 飞镖落在白色区域的概率， 故选：A． 6．①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；⑤方程x2－x＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题； ⑤方程x2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题， 其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：， 故选：C． 二、填空题 7．如图，如果小球在用七巧板拼成的正方形中自由地滚动，并随机地停留在某区域，它最终停留在2号区域的概率为________． 【答案】 【详解】 解：由题知：设5号七巧板的面积为1， 由七巧板的性质可得：4号七巧板的面积为：2；同理可得2号和3号七巧板面积的和为：3； 又由七巧板的性质可得：1号七巧板与1号、2号、3号、4号、5号七巧板的面积和的比为：1：4； ∴ 1号七巧板的面积为：2； 利用对称可得：6号和7号七巧板面积的和为：8； ∴ 七巧板拼成的正方形的面积为：16； ∴一只蚂蚁停留在2号七巧板上的概率＝． 故答案为：． 8．在中，现有以下四个条件：①，②，③，④，小马准备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出为正方形的概率为______． 【答案】 【详解】 解：题目中四个条件，随机选出两个，共计有种可能性， 其中能够证明为正方形的有4种，分别为：①②，①④，②③，③④， 故可以得出为正方形的概率为． 故答案为：． 9．有5张相同的卡片，卡片正面分别标有-2，，，，，将卡片背面朝上，从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为______． 【答案】 【详解】 解：-2，，，，， -2，，，，，中的正数有3个：，，， 从中随机抽取1张，其正面的数字是正数的概率是：． 故答案为：． 10．从﹣1，2，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N为(﹣4，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第一象限的概率为_________． 【答案】 【详解】 解：由题意得：点的坐标共有6种：，，，，，， 由一次函数的图象可知，当点的坐标为，，，时，直线经过第一象限， 则在平面直角坐标系内，直线经过第一象限的概率为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm²和12cm²的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率． 【答案】 【详解】 解：∵两个空白正方形的面积分别为12 cm²和3 cm²， ∴边长分别为cm和cm， ∴大正方形的边长为cm， ∴大正方形的面积为cm²， ∴阴影部分的面积为27-12-3=12 cm²， ∴米粒落在图中阴影部分的概率． 12．一个不透明袋中有红、黄、绿三种颜色的球共45个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是绿球个数的2倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求绿球的个数； (2)若从袋中取走5个黄球后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)10；(2) 【解析】 （1）解：∵从袋中摸出一个球是红球的概率为，∴红球的个数是：45 ×=15（个），设绿球的个数为x个，根据题意得：x+2x=45-15=30，解得：x=10，答：绿球的个数是10个； （2）根据题意得：黄球的个数是：2×10-5=15（个），则从袭中随机摸出一个球是黄球的概率为：． 13．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． (1)将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率； (2)若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率． 【答案】(1)从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是 (2)从袋中随机摸出一个球不是红球的概率是 【解析】 （1）∵在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，∴共有球2+3+5=10个，有2个黄球，∴P（黄球）=；答：从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是． （2）袋中原有10个球，再向这个袋子加入5个红球，共有15个球，其中，有2个黄球，3个黑球∴P（不是红球）=答：从袋中随机摸出一个球不是红球的概率是． 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·湖北武汉·中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【详解】 购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件． 故选：D． 2．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：总共有24道题，试题A共有4道， P（抽到试题A）， 故选：C． 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【答案】D 【详解】 解：每个数字抽到的概率都为：， 故小星抽到每个数的可能性相同． 故选：D． 4．（2022·广西·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ） A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答案】A 【详解】 解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（2022·江苏扬州·中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 【答案】D 【详解】 解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）不透明袋中装有除颜色外完全相同的个白球、个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 共有个球，其中红球b个 从中任意摸出一球，摸出红球的概率是． 故选A ． 二、填空题 7．（2017·江苏泰州·中考真题）一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是______．（填“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【详解】 根据题意，可知这个袋子中有3个数字，抽取一个球时不可能抽到数字4，所以是不可能事件. 故答案为：不可能事件. 8．（2022·辽宁大连·中考真题）不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______． 【答案】 【详解】 抽到黑球的概率：， 故答案为：. 9．（2022·青海西宁·中考真题）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是________． 【答案】 【详解】 解：全班共有50人，男生有26人， 从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是=， 故答案为：． 10．（2017·湖北随州·中考真题）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）． 【答案】随机 【详解】 解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件． 故答案为：随机． 三、解答题 11．（2020·浙江·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值） （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少? （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人? 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【详解】 （1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由如下： ∵直播参与度为“0.6-0.8”、“0.8-1”的人数均大于录播参与度的人数， 故“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）P（参与度在0.8及以上）=； （3）该校共有800名学生， ∴选择“录播”的人数为800×=200（人） 选择“直播”的人数为800×=600（人） ∴故参与度在0.4以下的共有200×+600×=20+30=50（人）． 12．（2019·福建·中考真题）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表； (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率； (2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 【答案】(1)0.6；(2) 选择购买10次维修服务. 【解析】 【详解】 解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6． (2)购买10次时， 此时这100台机器维修费用的平均数： y1=(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300 购买11次时， 此时这100台机器维修费用的平均数： y2=(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500， ∵27300＜27500， 所以，选择购买10次维修服务. 13．（2018·四川凉山·中考真题）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？ （2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）.（2）. 【详解】 （1）取出一个黑球的概率 （2）取出一个白球的概率 与的函数关系式为：． 奖次特等奖一等奖二等奖三等奖不获奖圆心角10°30°80°120°120°奖品山地车一辆双肩包一个洗衣液一桶纸抽一盒无奖品维修次数89101112频率(台数)1020303010某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2400024500250003000035000某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2600026500270002750032500
25.1随机事件与概率 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．下列事件中是不可能事件的是（ ） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水中捞月 D．百步穿杨 【答案】C 【详解】 解：A.守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B. 旭日东升是必然事件，故选项不符合； C.水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项符合； D.百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选：C. 2．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．如果a2＝b2，那么a＝b B．将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上 C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上 【答案】B 【详解】 解：A、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意； B、将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上，故该选项是必然事件，该选项符合题意； C、车辆随机到达一个路口，可能遇到红灯，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币，不一定正面向上，故该选项不是必然事件，该选项不符合题意． 故选：B． 3．下列说法中，正确的是（ ） A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件 B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件 C．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件 D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生 【答案】C 【详解】 A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是随机事件，选项错误，不符合题意； B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，选项错误，不符合题意； C．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，选项正确，符合题意； D．可能性是50%的事件，是指试验发生的可能性为50%，两个试验中每个试验的可能性依然是50%，选项错误，不符合题意； 故选C． 4．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同，乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A．15个 B．20个 C．25个 D．30个 【答案】A 【详解】 解：多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在0.27和0.43， 摸到红色球、黑色球的概率分别为0.27和0.43， 摸到白球的概率为， 口袋中白色球的个数可能为． 故选：A． 5．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图形可知，黑色区域的面积为6块地板，总区域的面积为16块地板， 故黑色区域的概率为． 故选A． 6．北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（ ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 【答案】D 【详解】 解：共有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”“雪容融”， 小红抽到三种邮票的可能性相同，抽到的概率都是； 故选：D． 二、填空题 7．“在只装有黑色围棋的盒子中摸出一颗白棋”是____________事件．（填“随机”“必然”或“不可能”） 【答案】不可能 【详解】 必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；不肯事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做不可能事件． 在只装有黑色围棋的盒子中一定不可能摸出白球； 故答案为：不可能 8．转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大． 【答案】2 【详解】 解：指针落在标有1的区域内的可能性是； 指针落在标有2的区域内的可能性是； 指针落在标有3的区域内的可能性是； 所以指针指向标有数字2的区域的可能性最大， 故答案为：2． 9．某体育频道播放体育比赛与广告时间之比为8：1，广告随机地穿插在体育比赛之间，小明随机地打开电视机收看该频道，他开机就能看到体育比赛的概率为______． 【答案】 【详解】 解：小明随机地打开电视机收看该频道，他开机就能看到体育比赛的概率为． 故答案为：． 10．一个不透明的袋子中装有个球，分别标有，，这三个号码，这些球除号码外都相同．搅匀后任意摸出一个球，摸到号码是的球概率为，则号码的值是______． 【答案】1 【详解】 解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．某商场根据第二季度某品牌运动服装的S号、M号、L号、XL号、XXL号销售情况绘制了如图所示的不完整的两幅统计图．根据图中信息解答下列问题： (1)第二季度该品牌运动服装的销售总量是________件，扇形统计图中XXL号服装销量占总量的百分比是________，XL号所对应的圆心角度数是________； (2)请补全条形统计图； (3)从M号、XL号运动服装中按照M号，XL号运动服装的销量比，分别取出一定数量的运动服，再取若干件XXL号运动服装，将它们放在一起共30件，现从这些运动服装中，随机取出1件，若取得M号运动服装的概率为，求取出了XXL号运动服装多少件？ 【答案】(1)200，10%，54°；(2)见解析；(3)取出了3件XXL号运动服装 【解析】 （1）解：60÷30%＝200（件），×100%＝10%，1−25%−30%−20%−10%＝15%，360°×15%=54°，故答案是：200，10%，54°； （2）解：S号服装销量：200×25%＝50（件），L号服装销量：200×20%＝40（件），XL号服装销量：200×15%＝30（件），条形统计图补充如下： （3）解：∵取得M号运动服装的概率为，且共30件，∴M号运动服装为，∵M号，XL号运动服装的销量比为2：1，∴XL号运动服装为，∴XXL号运动服装为．即取出了3件XXL号运动服装． 12．暑假将至，某大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动，活动规定：购买满500元的商品就可以获得一次转转盘的机会（转盘质地均匀，且被分为五个区域，分别是特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、不获奖），转盘指针停在哪个获奖区域就可以得到该区域相应等级奖品一件，（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止）．大卖场工作人员在制作转盘时，将各扇形区域圆心角分配如下表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)若某顾客购物300元，则他获奖的概率为_____________； (2)若甲顾客购物520元并参与活动，求他获得双肩包的概率； (3)若乙顾客购物600元并参与活动，求他获奖的概率． 【答案】(1)0；(2)；(3) 【解析】 （1）解：∵顾客购物300元，300<500，∴顾客不能进行抽奖，∴获奖概率为0，故答案为：0； （2）P（获得双肩背包）=答：获得双肩背包的概率是； （3）P（获奖）=答：获奖的概率是． 13．一个不透明的口袋里装有个红球，个白球，个黄球，这些球除颜色外都相同．小星和小红做摸球游戏． (1)小星从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率； (2)小红认为口袋里共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是，你认为对吗？说明理由． 【答案】(1)；(2)小红的认为不对，见解析 【解析】 （1）解：∵口袋中有个红球，个白球，个黄球，∴从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率； （2）解：小红的认为不对．∵摸到白球的概率为，摸到黄球的概率为，∴小红的认为不对． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（ ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【答案】A 【详解】 解：， 用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 2．在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】 解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．a是实数，则 B．一匹马奔跑的速度是每秒100米 C．任意一个三角形都有外接圆 D．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6 【答案】B 【详解】 解：A. a是实数，则是必然事件，故选项A不符合题意； B. 一匹马奔跑的速度是每秒100米是不可能事件，故选项B符合题意； C. 任意一个三角形都有外接圆是必然事件，故选项C不符合题意； D.抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6是随机事件，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解∶设布袋中红球的个数为x个， ∵任意摸出一个球是黄球的概率是， ∴， 解得∶x=1， ∴P（摸到红球）=． 故选A． 5．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：设正六边形边长为a，过作于，过作于，如图所示： 正六边形的内角为， 在中，，则， ， 在中，，则， 则灰色部分面积为， 白色区域面积为， 所以正六边形面积为两部分面积之和为， 飞镖落在白色区域的概率， 故选：A． 6．①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为；⑤方程x2－x＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为，所以④错误，是假命题； ⑤方程x2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题， 其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：， 故选：C． 二、填空题 7．如图，如果小球在用七巧板拼成的正方形中自由地滚动，并随机地停留在某区域，它最终停留在2号区域的概率为________． 【答案】 【详解】 解：由题知：设5号七巧板的面积为1， 由七巧板的性质可得：4号七巧板的面积为：2；同理可得2号和3号七巧板面积的和为：3； 又由七巧板的性质可得：1号七巧板与1号、2号、3号、4号、5号七巧板的面积和的比为：1：4； ∴ 1号七巧板的面积为：2； 利用对称可得：6号和7号七巧板面积的和为：8； ∴ 七巧板拼成的正方形的面积为：16； ∴一只蚂蚁停留在2号七巧板上的概率＝． 故答案为：． 8．在中，现有以下四个条件：①，②，③，④，小马准备从以上四个条件中，随机选出两个，可以得出为正方形的概率为______． 【答案】 【详解】 解：题目中四个条件，随机选出两个，共计有种可能性， 其中能够证明为正方形的有4种，分别为：①②，①④，②③，③④， 故可以得出为正方形的概率为． 故答案为：． 9．有5张相同的卡片，卡片正面分别标有-2，，，，，将卡片背面朝上，从中随机抽取1张，则抽取的卡片上的数是正数的概率为______． 【答案】 【详解】 解：-2，，，，， -2，，，，，中的正数有3个：，，， 从中随机抽取1张，其正面的数字是正数的概率是：． 故答案为：． 10．从﹣1，2，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N为(﹣4，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第一象限的概率为_________． 【答案】 【详解】 解：由题意得：点的坐标共有6种：，，，，，， 由一次函数的图象可知，当点的坐标为，，，时，直线经过第一象限， 则在平面直角坐标系内，直线经过第一象限的概率为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm²和12cm²的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，求米粒落在图中阴影部分的概率． 【答案】 【详解】 解：∵两个空白正方形的面积分别为12 cm²和3 cm²， ∴边长分别为cm和cm， ∴大正方形的边长为cm， ∴大正方形的面积为cm²， ∴阴影部分的面积为27-12-3=12 cm²， ∴米粒落在图中阴影部分的概率． 12．一个不透明袋中有红、黄、绿三种颜色的球共45个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是绿球个数的2倍．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． (1)求绿球的个数； (2)若从袋中取走5个黄球后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)10；(2) 【解析】 （1）解：∵从袋中摸出一个球是红球的概率为，∴红球的个数是：45 ×=15（个），设绿球的个数为x个，根据题意得：x+2x=45-15=30，解得：x=10，答：绿球的个数是10个； （2）根据题意得：黄球的个数是：2×10-5=15（个），则从袭中随机摸出一个球是黄球的概率为：． 13．在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同． (1)将袋中的球摇匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率； (2)若向这个袋子加入5个红球，从袋中随机摸出一个球，求摸到不是红球的概率． 【答案】(1)从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是 (2)从袋中随机摸出一个球不是红球的概率是 【解析】 （1）∵在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，∴共有球2+3+5=10个，有2个黄球，∴P（黄球）=；答：从袋中随机摸出一个球是黄球的概率是． （2）袋中原有10个球，再向这个袋子加入5个红球，共有15个球，其中，有2个黄球，3个黑球∴P（不是红球）=答：从袋中随机摸出一个球不是红球的概率是． 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·湖北武汉·中考真题）彩民李大叔购买1张彩票，中奖．这个事件是（ ） A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件 【答案】D 【详解】 购买一张彩票，结果可能为中奖，也可能为不中奖，中奖与否是随机的，即这个事件为随机事件． 故选：D． 2．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：总共有24道题，试题A共有4道， P（抽到试题A）， 故选：C． 3．（2022·贵州贵阳·中考真题）某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定，以抽签方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张同样的纸条上，并将这些纸条放在一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是（ ） A．小星抽到数字1的可能性最小 B．小星抽到数字2的可能性最大 C．小星抽到数字3的可能性最大 D．小星抽到每个数的可能性相同 【答案】D 【详解】 解：每个数字抽到的概率都为：， 故小星抽到每个数的可能性相同． 故选：D． 4．（2022·广西·中考真题）下列事件是必然事件的是（ ） A．三角形内角和是180° B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答案】A 【详解】 解：A、三角形内角和是180°是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（2022·江苏扬州·中考真题）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月 【答案】D 【详解】 解：A、水落石出是必然事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，不符合题意； C、水滴石穿是必然事件，不符合题意； D、水中捞月是不可能事件，符合题意； 故选D 6．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）不透明袋中装有除颜色外完全相同的个白球、个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 共有个球，其中红球b个 从中任意摸出一球，摸出红球的概率是． 故选A ． 二、填空题 7．（2017·江苏泰州·中考真题）一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是______．（填“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【详解】 根据题意，可知这个袋子中有3个数字，抽取一个球时不可能抽到数字4，所以是不可能事件. 故答案为：不可能事件. 8．（2022·辽宁大连·中考真题）不透明袋子中装有2个黑球，3个白球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是_______． 【答案】 【详解】 抽到黑球的概率：， 故答案为：. 9．（2022·青海西宁·中考真题）某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是________． 【答案】 【详解】 解：全班共有50人，男生有26人， 从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是=， 故答案为：． 10．（2017·湖北随州·中考真题）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）． 【答案】随机 【详解】 解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件． 故答案为：随机． 三、解答题 11．（2020·浙江·中考真题）新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如下表（数据分组包含左端值不包含右端值） （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少? （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人? 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【详解】 （1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由如下： ∵直播参与度为“0.6-0.8”、“0.8-1”的人数均大于录播参与度的人数， 故“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）P（参与度在0.8及以上）=； （3）该校共有800名学生， ∴选择“录播”的人数为800×=200（人） 选择“直播”的人数为800×=600（人） ∴故参与度在0.4以下的共有200×+600×=20+30=50（人）． 12．（2019·福建·中考真题）某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费某公司计划购实1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修服务，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得下表； (1)以这100台机器为样本，估计“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率； (2)试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？ 【答案】(1)0.6；(2) 选择购买10次维修服务. 【解析】 【详解】 解：（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率＝＝0.6． (2)购买10次时， 此时这100台机器维修费用的平均数： y1=(24000×10+24500×20+25000×30+30000×30+35000×10)＝27300 购买11次时， 此时这100台机器维修费用的平均数： y2=(26000×10+26500×20+27000×30+27500×30+32500×10)＝27500， ∵27300＜27500， 所以，选择购买10次维修服务. 13．（2018·四川凉山·中考真题）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？ （2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）.（2）. 【详解】 （1）取出一个黑球的概率 （2）取出一个白球的概率 与的函数关系式为：． 奖次特等奖一等奖二等奖三等奖不获奖圆心角10°30°80°120°120°奖品山地车一辆双肩包一个洗衣液一桶纸抽一盒无奖品维修次数89101112频率(台数)1020303010某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2400024500250003000035000某台机器使用期内维修次数89101112该台机器维修费用2600026500270002750032500
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