人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积同步测试题

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24.4弧长和扇形面积 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．在半径为6的圆中，120°的圆心角所对的弧长是（　 　） A．3π B．4π C．6π D．12π 【答案】B 【详解】 解：根据弧长的公式l， 得到：l4π． 故选：B． 2．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（         ）． A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】C 【详解】 解：根据题意得：， 解得：l＝6， 即该圆锥母线l的长为6． 故选：C． 3．如图，圆锥的底面半径OB＝3cm，高OC＝4cm．则这个圆锥的侧面积是(      ) A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2 【答案】A 【详解】 解∶根据题意得：， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：A 4．如图，△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C．则阴影部分的面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由旋转得：∠B1AB＝60°， ∵， ∴＝＝． 故选：A． 5．将一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为（         ） A．2 B．6 C．6 D．18 【答案】A 【详解】 解：设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥底面圆的半径为2． 故选：A． 6．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（        ） A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】C 【详解】 解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得， 则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 故选：C． 二、填空题 7．已知圆心角为的扇形面积为，则扇形的半径为______． 【答案】8 【详解】 解：根据S＝ ， 可得：24π＝， 解得：r＝8． 故答案为：8． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以边AC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】65π 【详解】 解：由已知得，母线长AB=13，半径r为5， ∴圆锥的侧面积==65π， 故答案为：65π． 9．若一个扇形的圆心角是60°，半径为6，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【详解】 解：该扇形的面积是：． 故答案是：6π． 10．已知圆锥的侧面积是8π，底面半径是2，则圆锥的母线长是_________． 【答案】4 【详解】 解：设母线长为R， ∵底面半径是2， ∴底面周长=2×2π=4π， ∵圆锥的侧面积是8π， ∴，解得：R=4． 故答案为：4 三、解答题 11．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积． 【答案】弧长为4πcm；扇形面积为12πcm2． 【详解】 解：由题意可知： 扇形AOB的弧长（cm）； 扇形AOB的扇形面积（cm2）． 12．求下列图形中阴影部分的面积． 【答案】①；②26 【详解】 ①∵△ABC为直角三角形，且，，， ∴， ∴； ②∵△ABC为直角三角形，且，，， ∴， ∴． 13．如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【详解】 解：∵正方形的边长为4 ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ ∴圆锥底面周长为，解得 ∴该圆锥的底面圆的半径是 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题(共0分) 1．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（　 　）cm． A．15 B．30 C．45 D．30π 【答案】A 【详解】 如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E， ∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形， ∴=30°，cm， ∴cm， 设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得， ， 解得， 所以该圆锥的底面圆的半径为15cm， 故选A． 2．如图，圆锥的底面圆半径r为5cm，高h为12cm，则圆锥的侧面积为（            ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】A 【详解】 解：由圆锥底面半径r=5cm，高h=12cm， 根据勾股定理得到母线长l==13（cm）， 根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π（cm2）， 故选：A． 3．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等于（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：连接AC， ∵菱形ABCD中，AB=BC， 又AC=AB， ∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=60°， 又∵AB=2， ∴ 故选B． 4．如图，把半径为3的⊙O沿弦AB，AC折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积为（        ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，连接OA，OB，OC，并做O点关于AC的对称点D点，连接OD，叫AC于点E． ∵OA=OB=OC， ∴， ∴， ∵O点、D点关于AC的对称， ∴OE=DE=1， ∴OE=OA=OC， ∴∠OCE=∠OAE =30° ∴∠AOC=120° 同理可得∠AOB=120°， ∴∠BOC=120°， ∴， 故选C． 5．如图，过⊙O外一点P作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，过PA上一点Q作切线QC交PB于T，切点为C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，则阴影部分的面积为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：连接OC． ∵PA，QC 是⊙O的切线， ∴∠A＝∠QCO＝90°， ∵CQ⊥PA， ∴∠QCO＝90°， ∴四边形AOCQ是矩形， ∵OA＝OC， ∴四边形AOCQ是正方形， ∴∠QOC＝45°， ∵∠QOT＝75°， ∴∠COT＝30°， ∵TC，TB是⊙O的切线， ∴∠OBT＝∠OCT＝90°，∠COT＝∠BOT＝30°， 在Rt△OBT中，∠BOT＝30°，BT＝2， ∴OBBT＝2， ∴S阴＝2S△OBT﹣S扇形OBC＝22×242π． 故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中， ，以点A为圆心，OA长为半径作圆，交x轴正半轴于点C，点D为上一动点，连接BD，以BD为边，在直线BD的上方作正方形BDEF，若点D从点O出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时，点F的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：∵， ∴， ∴的周长为． ，， ∴第2022秒结束时和第6秒结束时，点D的位置相同，正方形BDEF的位置相同． ∵ ， ∴点D在x轴下方的圆弧上，且的长为． 连接AD，过点F作x轴的垂线，垂足为G，如下图所示． 设，则， ∴ ． 即． ∵ ， ∴ ． 又∵， ∴． 又∵ ∴ ． ∴． ∴， ∴点F的坐标为， 故选A． 二、填空题(共0分) 7．如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，若⊙O半径为3，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留π） 【答案】 【详解】 解：如图，连接， 分别与相切于点， ， 又， 四边形是正方形， ， 则图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若，AB＝4，则的长度为________． 【答案】 【详解】 ∵、、、所在的圆是等圆 又∵、、所对的圆周角都是 ∴==         又∵= ∴===        又∵ +++= ∴= ∴ 又∵AB是的直径 ∴所对的圆心角为          ∴的长= 故答案为 9．如图，矩形ABCD中，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，再以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【详解】 解：连接AE， 由题意可知： 阴影部分的面积＝△DAE的面积＋扇形EAB的面积−扇形EDA的面积， ∵以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点E，， ∴， ∵以D为圆心，DA的长为半径画圆，恰好经过点E，， ∴， ∴△DAE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠EAB＝45°， ∴， 故答案为：2． 10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2 …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的圆心为B，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是___________（结果保留π）． 【答案】2022π 【详解】 根据题意有： 的半径， 的半径， 的半径， 的半径， 的半径， 的半径， 的半径， 的半径， ．．． 以此类推可知，故弧的半径为：， 即弧的半径为：， 即弧的长度为：， 故答案为：． 三、解答题(共0分) 11．如图，在等腰中，，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆． (1)求证：AB是圆O的切线； (2)若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？ 【答案】(1)证明过程见详解；(2)． 【解析】 (1)证明：连接OB，如图， ∵等腰△ABC中，∠A=30°， ∴∠C=30°， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠C=30°， ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°， ∵∠OBA=180°-60°-30°=90°， ∴OB⊥AB， ∴AB是圆O的切线； (2)解：在Rt△OBA中，AB=OB=， ∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD=•1•-． 12．如图，在中，点A是边BE上一点，以AB为直径的与CE相切于点D，，点F为OC与的交点． (1)求证：CB是的切线； (2)连接DB与OC交于点G，，，求阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 (1)连接OD，则OD=OA， ∴∠DAO=∠ADO， ， ， ， ∵在△COD和△COB中， ， ∴∠CBO=∠CDO， ∵CD是切线， ∴OD⊥CD， ∴∠CBO=∠CDO=90°， ∴CB是的切线； (2)∵CD、CB都是圆O的切线， ∴CD=CB，OC垂直平分DB， 设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2， ∵OD2=OG2+DG2 ∴，解得r=4， ∴OG=2， ∴∠ODG=30°， ∴∠COD=60°， ∠DOB=2∠COD=120°， ∵， ∴， ∴， ∵S四边形CDOB， S扇形DOB， ∴S阴影= S四边形CDOB- S扇形DOB=． 13．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°． (1)求∠COA的度数． (2)求出CE的长度． (3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)60°；(2)2；(3) 【解析】 (1)解：∵OCBD， ∴∠OCB＝∠CBD＝30°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠COA＝∠OCB＋∠OBC＝60°； (2)解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OCBD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°， ∵∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴OEOA， ∴CEOC2； (3)解：连接OD， ∵∠CBD＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4． 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（    ） A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2 【答案】D 【详解】 解：底面直径为6cm，则底面周长=6π， 侧面面积=×6π×8=24πcm2． 故选D． 2．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC = = ==2.25π（m2） 故选：D． 3．（2022·广西柳州·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（　 　） A．16π B．24π C．48π D．96π 【答案】C 【详解】 解：由题意可知： 圆锥的侧面积为：，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径， ． 故选：C 4．（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(      ) A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π 【答案】A 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴所扫过的面积为． 故选：A． 5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F， 则， 由旋转得， ∴∠， ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ 故选：C． 6．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　 　） A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 【答案】C 【详解】 解：根据题意， ∵底面圆半径DE=2m， ∴圆柱的底面积为：；故A正确； 圆柱的侧面积为：；故B正确； 圆锥的母线为：；故C错误； 圆锥的侧面积为：；故D正确； 故选：C 二、填空题 7．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________． 【答案】 【详解】 解： ∵矩形中， 由旋转可知， ∵， ∴ ∴线段AB扫过的面积 故答案为： 8．（2022·青海·中考真题）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为______cm. 【答案】 【详解】 解：过O作OE⊥AB于E， ∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°， ∴∠A=∠B=30°， ∴OE=OA=30cm， ∴弧CD的长=(cm)， 故答案为：． 9．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________． 【答案】- 【详解】 解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF， ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆， ∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC， ∵∠C=90°， ∴四边形CDOE为正方形， ∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°， 设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x， ∴4-x+3-x=5，解得x=1， ∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE =×3×4-×1×1 =-． 故答案为：-． 10．（2022·山东聊城·中考真题）如图，线段，以AB为直径画半圆，圆心为，以为直径画半圆①；取的中点，以为直径画半圆②；取的中点，以为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为______________． 【答案】## 【详解】 解：∵， ∴，半圆①弧长为， 同理，半圆②弧长为， ，半圆③弧长为， …… 半圆⑧弧长为， ∴8个小半圆的弧长之和为． 故答案为：． 三、解答题 11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点． (1)判断直线与⊙的位置关系，并说明理由； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 (1)证明： ∠ =45°，， 即 在上， 为的切线． (2)如图，记BC与的交点为M，连接OM， ， ， ， ，， ， ． 12．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD． (1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）． (2)求证：AD平分∠BDO． 【答案】(1)；(2)见解析 【解析】 (1)解：连接OA， ∵∠ACB＝20°， ∴∠AOD＝40°， ∴， ． (2)证明：， ， 切于点， ， ， ， ， ， 平分． 13．（2022·江苏泰州·中考真题）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5. 点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒 (1)如图2，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度； (2)在点B运动的过程中，当 AD、BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、H连接OG，OH.若∠GOH为直角，求此时t的值. 【答案】(1)；(2)8或9秒 【解析】 (1)解：设BC与⊙O交于点M，如下图所示： 当t=2.5时，BE=2.5， ∵EF=10， ∴OE=EF=5， ∴OB=2.5， ∴EB=OB， 在正方形ABCD中，∠EBM=∠OBM=90°，且MB=MB， ∴△MBE≌△MBO(SAS)， ∴ME=MO， ∴ME=EO=MO， ∴△MOE是等边三角形， ∴∠EOM=60°， ∴． (2)解：连接GO和HO，如下图所示： ∵∠GOH=90°， ∴∠AOG+∠BOH=90°， ∵∠AOG+∠AGO=90°， ∴∠AGO=∠BOH， 在△AGO和△OBH中，， ∴△AGO≌△BOH(AAS)， ∴AG=OB=BE-EO=t-5， ∵AB=7， ∴AE=BE-AB=t-7， ∴AO=EO-AE=5-(t-7)=12-t， 在Rt△AGO中，AG2+AO2=OG2， ∴(t-5)2+(12-t)2=52， 解得：t1=8，t2=9， 即t的值为8或9秒．