人教版九年级上册24.3 正多边形和圆综合训练题

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24.3正多边形和圆 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 一、单选题 1．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（        ） A．72° B．60° C．48° D．36° 【答案】A 【详解】 解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为， 故选：A． 2．如图，正六边形内接于⊙，正六边形的周长是12，则⊙的半径是（        ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 解：连接OB，OC， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵正六边形的周长是12， ∴BC=2， ∴⊙O的半径是2， 故选：B． 3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（        ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】 如图，过A作AC⊥OB于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为=30°， ∵OA=1， ∴AC=OA=， ∴S△OAB=×1×=， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×=3， 故选：B． 4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　 　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【详解】 解：如图，连接OC，OD． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝＝72°， ∴∠CPD＝∠COD＝36°， 故选：B 5．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为， 即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1； 做第二次后的正方形的边长为； 依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1， 则做第7次后的圆的内接正方形的边长为． 故选：A． 6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】 解：如图，∵这个多边形为正六边形， ∴这个多边形的一个内角的度数为， ∴∠OAB=60°， ∴∠AOG=30°， 在中，， ∴， ∴ 故选A． 二、填空题 7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是______________        【答案】30°． 【详解】 在正六边形ABCDEF中，∠BCD=120°， ∵CB=CD， ∴∠CBD=∠CDB=（180°-120°）=30°， 故答案为 30°． 8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为_________． 【答案】十二 【详解】 解：如图，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正十二边形， 故答案为：十二． 9．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°． 【答案】132 【详解】 由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°， ∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°， 故答案为：132． 10．如图，是⊙O的弦，，交⊙O于点．连接，，．若是⊙O的内接正六边形的一边，则的度数为__________． 【答案】 【详解】 解：∵AB是⊙O的内接正六边形的一边， ∴， ∵OA=OB，OC⊥AB， ∴∠AOC=∠BOC=30°， ∴∠ABC=∠AOC=15°， 故答案为：15°． 三、解答题 11．如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S． 【答案】， 【详解】 解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示： ∴AH=HB，∠AOH=BOH， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm， ∴， ∴， ∴． 12．如图，是的内接正五边形．求证：. 【答案】证明见解析 【详解】 证明：∵是正五边形， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 13．已知正六边形内接于，图中阴影部分的面积为，则的半径为多少？ 【答案】半径 【详解】 解：连接DO并延长，交BF于点G． ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴阴影部分为正三角形， 设边长是a，则FG=a，DG=a， 则面积是a×a=，即=， 解得a=4， 则DG=BD•sin60°=4×=6 ∴半径OD=DG=6×=4． 培优第二阶——拓展培优练 一、单选题 1．以半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如图1， ∵ 为圆内接正三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 如图2， ∵四边形 是圆内接正方形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， 如图3， ∵正六边形为圆内接正六边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 该三角形的三边长分别为 ， ∵ ， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积为 故选：C 2．图，已知正五边形内接于，连接，相交于点，则的度数（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：如图所示： ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°， ∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE==36°， ∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°． 故选：B． 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（        ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】 解：连接OA、OD、OF，如图， ∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOD==90°，∠AOF==120°， ∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°， ∴n==12， 即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故选：C． 4．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边重合，则正方形ABCD与正方形重叠部分的面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 正八边形的内角，正方形绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边重合， ． ． 如解图，延长至点D，DC与相交于点E， ． ． ∴正方形与正方形重叠部分的面积 故选：A． 5．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（　　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】 解：如图，连接OB、OC． ∵ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=60°，OB=OC=4， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC=OB=OC=4， ∵OM⊥BC， ∴BM=CM=2， 在Rt△OBM中，， 故选：A． 6．如图，是上的5等分点，连接，得到一个五角星图形和五边形．有下列3个结论：①，②，③．其中正确的结论是（        ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】 解：、、、、是上的5等分点， ， ，故①正确； 、、、、是上的5等分点， 的度数， ， ， ； 连接 、、、、是上的5等分点， ， ， ， ，故②正确； 连接，， 则， ， ， ， ， ，③错误． 故选：B． 二、填空题 7．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______． 【答案】 【详解】 解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵PG⊥OA， ∴PG平分， ∴， 又∵OA=6， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 8．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________． 【答案】 【详解】 解：如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形） =S十二边形-S八边形 =12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45° =3-2． 故答案为：3-2． 9．如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为__． 【答案】九 【详解】 如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 10．如图，作半径为a的⊙O的内接正方形ABCD，然后作正方形ABCD的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正方形A1B1C1D1，又作正方形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第n个圆的半径为_______． 【答案】 【详解】 第一个圆的半径为：，即； 第二个圆的半径为：， 第三个圆的半径为：， 第个圆的半径为： ， 故答案为：． 三、解答题 11．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4． （1）求∠A、∠B的度数； （2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）60°、90°；（2） 【详解】 解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°， 解得，x＝30°， ∴∠A、∠B分别为60°、90°； （2）连接AC， ∵∠B＝90°， ∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°， ∵点D为的中点， ∴AD＝CD＝AC＝， ∴△ADC的面积＝， ∴四边形ABCD的面积＝6+＝． 12．如图所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB．求证：五边形AEBCD是正五边形． 【答案】见解析 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°， 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE， ∴ ， ∴A，E，B，C，D是⊙O的五等分点， ∴五边形AEBCD是正五边形． 13．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H． （1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH． （2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）猜想：FM＝MH．证明见解析． 【详解】 （1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴每个内角均为120°． ∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上， ∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°， ∴∠AFM＝∠BMH． （2）解：猜想：FM＝MH． 证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH． ②当点M与点A不重合时， 如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM． ∵AF＝AB，FP＝MB， ∴PA＝AM ∵∠A＝120°， ∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°， 有∠FPM＝150°， ∵BQ平分∠CBN， ∴∠MBQ＝120°+30°＝150°， ∴∠FPM＝∠MBH， 由（1）知∠PFM＝∠HMB， ∴△FPM≌△MBH． ∴FM＝MH． 培优第三阶——中考沙场点兵 一、单选题 1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：连接OC、OD、OE，如图所示： ∵正六边形内接于， ∴∠COD= =60°，则∠COE=120°， ∴∠CME= ∠COE=60°， 故选：D． 2．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（　 　） A．3 B． C． D．3 【答案】C 【详解】 ∵圆O的周长为，设圆的半径为R， ∴ ∴R=3 连接OC和OD，则OC=OD=3 ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠COD=， ∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD， ∴OC=OD=CD， ∴ 故选 C 3．（2022·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 4．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（     ） A．2mm B． C． D．4mm 【答案】D 【详解】 连接CF与AD交于点O， ∵为正六边形， ∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm， ∴△COD为等边三角形， ∴CD=CO=DO=4mm， 即正六边形的边长为4mm， 故选：D． 5．（2022·四川成都·中考真题）如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（       ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】 解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 6．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，与正五边形的两边相切于两点，则的度数是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解： ∵AE、CD切⊙O于点A、C， ∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°， ∴正五边形ABCDE的每个内角的度数为： ， ∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°， 故选：A． 二、填空题 7．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在正六边形中，连接，则____________度． 【答案】30 【详解】 连接BE，交CF与点O，连接OA， 在正六边形中， ， ， 故答案为：30． 8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度． 【答案】12 【详解】 连接AO，如图， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=360°÷6=60°， ∵多边形AHIJK是正五边形， ∴∠AOH=360°÷5=72°， ∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°， 故答案为：12． 9．（2022·浙江丽水·中考真题）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________． 【答案】 【详解】 解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO， 三个正六边形，O为原点， 同理： 三点共线， 关于O对称， 故答案为： 10．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____． 【答案】 【详解】 解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P， 由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： ∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而 则 故答案为： 【点睛】 三、解答题 11．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1)；(2)是正三角形，理由见解析；(3) 【解析】 (1)解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； (2)解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； (3)∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分． （1）求证：是等边三角形； （2）过点作交的延长线于点，若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）； 【详解】 解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O． ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°， ∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形； （2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N． ∴∠AMD=90° ∵∠ADC=120°， ∴∠ADM=60°， ∴∠DAM=30°， ∴DM=AD=1，AM=， ∵CD=3， ∴CM=CD+DE=1+3=4， ∴S△ACD=CD-AM=×3×=， 在Rt△AMC中，∠AMD=90°， ∴AC=， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=， ∴BN=， ∴S△ABC=××=， ∴四边形ABCD的面积=+=， ∵BE∥CD， ∴∠E+∠ADC=180°， ∵∠ADC=120°， ∴∠E=60°， ∴∠E=BDC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EAB=∠BCD， 在△EAB和△DCB中， ， ∴△EAB≌△DCB（AAS）， ∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=. 13．（2020·山东威海·中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点 求证：（1）； （2）为⊙O的切线． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】 证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形， ∴∠EAM＝∠EBC， ∵AE平分∠BAM， ∴∠BAE＝∠EAM， ∵∠BAE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠EAM， ∴∠BCE＝∠EBC， ∴BE＝CE； （2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC， ∵OB＝OC，EB＝EC， ∴直线EO垂直平分BC， ∴EO⊥BC， ∵EF//BC， ∴EO⊥EF， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF为⊙O的切线．