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高考数学(理数)一轮复习学案7．3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(含详解)
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这是一份高考数学(理数)一轮复习学案7．3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(含详解)，共31页。
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
7．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划
(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．
注：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________________的问题，统称为线性规划问题．
(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________________．
线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据__________________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．
②设__________，画出直线l0．
③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的_______________．
(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定_______________函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即_______________，在可行域内求得使目标函数_______________．
自查自纠：
1．(1)平面区域 不包括 包括 实线 (2)相同 符号
2．(1)目标函数 线性目标函数
(2)最大值或最小值
(3)可行解 可行域 最优解
(4)①线性约束条件画出可行域 ②z＝0
④最大值或最小值
(5)约束 线性目标 画出可行域 取得最值的解
下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是 ( )
A．(0，0) B．(－1，1)
C．(－1，3) D．(2，－3)
解：把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合．故选C．
不等式组表示的平面区域是以下哪项所示阴影部分 ( )
A B
C D
解：x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B所示阴影部分．故选B．
不等式组表示的平面区域的面积为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4．故选B．
()设x，y满足约束条件 则z＝3x－2y的最小值为________．
解：画出不等式组 所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由 解得A(－1，1)．所以 zmin＝－5．故填－5．
()若x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，z＝＝，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA．由得A，所以kOA＝3，即zmax＝3．故填3．
类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
A B
C D
解：(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区域后，只有C符合题意．故选C．
(2) 不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A． B． C． D．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由得交点A的坐标为(1，1)．
又B，C两点的坐标分别为(0，4)，，故S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝．故选C．
点 拨：
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域(一般取坐标原点)．求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形或其他特殊图形分别求解再求和．
(1)()在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 ( )
解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C．
(2)()若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N．现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为________．
解：作出不等式组与不等式表示的可行域N，M，如图所示，平面区域N的面积为×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为π×()2＝，故所求概率P＝＝．故填．
类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋y的最大值为 ( )
A． B．1 C． D．3
解：可行域为四边形ABCD及其内部，所以直线z＝x＋y过点B(0，3)时取最大值3．故选D．
点 拨：
线性规划问题有三类：①简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；②线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；③线性规划的实际应用． 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．应注意目标函数z＝ax＋by(ab≠0)中b的正负对z取最大还是最小的影响．
()设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝3x＋5y的最大值为 ( )
A．6 B．19 C．21 D．45
解：作出可行域如图中阴影部分所示，
结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点A处取得最大值．联立直线方程 可得点A的坐标为A(2，3)，据此可知目标函数的最大值zmax＝3×2＋5×3＝21．故选C．
类型三 含参数的线性规划问题
(1)()实数x，y满足 若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解：作出不等式组对应的平面区域如图，由 z＝ax＋y得y＝－ax＋z．
因为z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为 3a－3，
所以当直线y＝－ax＋z经过点B(3，9)时直线截距最大，
当经过点A(3，－3)时，直线截距最小．
则直线y＝－ax＋z的斜率－a满足，
－1≤－a≤1，即－1≤a≤1．故选C．
(2)()已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝ ( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2．
另解：z＝x＋2y的最小值为－4，此时目标函数为x＋2y＋4＝0．直线x＋2y＋4＝0与直线x＋3y＋5＝0和直线x＋y－1＝0的交点分别为(－2，－1)，(6，－5)，则直线x＝－a必过其中一点，所以a＝－6或a＝2．经检验a＝2符合题意．故选B．
点 拨：
利用可行域及最优解求参数的方法：①若线性目标函数中含有参数，可对线性目标函数的斜率讨论从而确定其过哪个顶点时取得最值；也可直接求出线性目标函数过各个顶点时对应的参数的值，然后进行检验，从而找出符合题意的参数值；②若限制条件中含有参数，则依据参数的不同范围将各种情况下的可行域画出来，再寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)()若实数x，y满足且z＝mx－y(m<2)的最小值为－，则m等于 ( )
A．－ B． C．1 D．
解：作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
z＝mx－y(m<2)的最小值为－，当m＝0， zmin＝－3；当m<0时，zmin<－3，均不合题意，故0
A．－3 B．1 C． D．3
解：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m<2，m>－1．
由解得即A(1－m，1＋m)．
由解得即B(－m，＋m)，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝ S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)＝(1＋m)2＝，解得m＝－3(舍去)或m＝1．故选B．
类型四 非线性目标函数的最优解问题
()若变量x，y满足 则x2＋y2的最大值是 ( )
A．4 B．9 C．10 D．12
解：作出可行域如图所示，点A(3，－1)到原点距离最大，所以(x2＋y2)max＝10．故选C．
点 拨：
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围． 即：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：①截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值；②距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2或z＝|cx＋dy＋e|；③斜率型：形如z＝，本题属于距离型．
()已知实数x，y满足 则的最小值是________．
解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，又表示平面区域内的点与原点连线的斜率的倒数．由图知，斜率均为正且直线OA的斜率最大，此时取得最小值，所以＝＝．故填．
类型五 线性规划与整点问题
设实数x，y满足不等式组 若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为 ( )
A．14 B．16 C．17 D．19
解：画出可行域如图，令3x＋4y＝z，y＝ －x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16．故选B．
点 拨：
求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点，有时也可用不等式(组)确定整点．
设不等式组 所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为an(an∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝______．
解：直线y＝－nx＋3n＝－n(x－3)，过定点(3，0)，由y＝－nx＋3n＞0得x＜3，又x＞0，所以 x＝1或x＝2．直线x＝2交直线y＝－nx＋3n于点(2，n)，直线x＝1交直线y＝－nx＋3n于点(1，2n)，所以整点个数an＝n＋2n＝3n．故填3n．
类型六 线性规划在实际问题中的应用
()某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1．5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0．5 kg，乙材料0．3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解：设某高科技企业生产产品A和产品B分别为x件，y件，生产产品A、产品B的利润之和为z元，依题意得 即
目标函数z＝2 100x＋900y．作出可行域如图所示．当直线z＝2 100x＋900y经过点M(60，100)时，z 取得最大值．zmax＝2 100×60＋900×100＝ 216 000．
故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000．
点 拨：
对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．
()一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克、果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克、果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克、果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元．在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________元．
解：设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，
则即
目标函数z＝200x＋100y．
作出可行域如图阴影部分所示．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值．解方程组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600．故填600．
1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．
2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：
第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．
第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．
特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．
第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点Pi逐一代入目标函数＝mx＋ny，比较各个，得最大值或最小值．
1．不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2．由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝．故选D．
2．()设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9 C．1 D．9
解：作出不等式组 对应的可行域，
如图中阴影部分所示．当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15．故选A．
3．()设x，y满足约束条件 则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3) 处取得最小值z＝0－3＝－3． 在点B(2，0) 处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A．12万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，利润为z元，
则
目标函数为z＝3x＋4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝ －x至经过点B时，直线y＝－x＋的纵截距最大，此时z最大，
解方程组 得 即B(2，3)．
所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18．
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D．
5．若变量x，y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为 ( )
A． B． C． D．5
解：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小，且zmin＝(0－2)2＋12＝4＋1＝5．故选D．
6．()若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为 ( )
A． B． C．1 D．2
解：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与直线3x－2y＋2＝0和直线x＋y＝1分别交于A(2，4)，B， mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当 m＝时，经检验不符合题意，故m＝2．
另解：作图，旋转y＝mx(讨论m)．故选D．
7．x，y满足约束条件若z＝ y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距．故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1；当a＝0时，不满足题意．故填2或－1．
8．()已知x，y满足约束条件则z＝|x－2y＋2|的最小值为________．
解：作出可行域如图中阴影部分所示，z＝·表示的几何意义是可行域内的点到直线x－2y＋2＝0的距离的倍．易知点A到直线x－2y＋2＝0的距离为区域内的点到直线的距离的最小值，且为，所以zmin＝×＝．故填．
9．()若1≤log2(x－y＋1)≤2， |x－3|≤1，求x－2y的最大值与最小值之和．
解：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即
作出可行域如图阴影部分所示，则直线z＝x－2y经过B，A时分别取得最大值、最小值，分别为4，－2，其和为2．
10．变量x，y满足
(1)设z1＝4x－3y，求z1的最大值；
(2)设z2＝，求z2的最小值；
(3)设z3＝x2＋y2，求z3的取值范围．
解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A，B(1，1)，C(5，2)．
(1)z1＝4x－3y⇔y＝x－，易知平移y＝x至过点C时，z1最大，且最大值为4×5－3×2＝14．
(2)z2＝表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小．故z2的最小值为．
(3)z3＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB2＜OA2＜OC2＝29．故z3∈[2，29]．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0．25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0．05．
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
解：(1)依题意得 解得
故甲产品为一等品的概率P甲＝0．65，乙产品为一等品的概率P乙＝0．4．
(2)依题意得x，y应满足的约束条件为
且z＝0．65x＋0．4y．
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．
作直线l：0．65x＋0．4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组 得
故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为 zmax＝0．65×2＋0．4×3＝2．5．
()已知实数x，y满足则z＝的取值范围为________．
解：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，lnx0)，kAP＝，
所以＝，所以x0＝1，kAP＝1，
即z＝的取值范围为[0，1]．故填[0，1]．
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