高考数学(理数)一轮复习学案7．2《一元二次不等式及其解法》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案7．2《一元二次不等式及其解法》(含详解)，共25页。

7．2　一元二次不等式及其解法


1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为__________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是__________．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．
(4)一元二次不等式的解

函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1,x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝
－
无实根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
①　　　　　
②　　　　　
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
③　　　　
4．分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
⇔ f(x)g(x)＞0；
＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
≥0 ⇔
≤0 ⇔
自查自纠：
1．(1)同解不等式　(2)同解变形
2．　　　　a＝0，b＜0
3．(1)一元二次　(2)解集　(3)两边　中间
(4)①　②　③∅


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()不等式<1的解集是
(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，1)
解：因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．
()不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，2] B．(－2，2]
C．(－2，2) D．(－∞，2)
解：当a≠2时，有 所以－2 ()已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为 (　　)
A． B．
C．{x|－32}
解：由题意得解得a＝ －1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为．故选A．
()已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．
解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故填[－4，＋∞)．
()已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a＝________．
解法一：由题意得，x1＋x2＝a　①，x1x2＝ －6a2　②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝5，所以25a2＝50，解得a＝±，因为a<0，所以a＝－．
解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a， x2＝－2a．又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－．故填－．


类型一　一元二次不等式的解法
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；
(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．
解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3， x2＝4．
而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．
而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．

(2)解关于 x 的不等式 kx2－2x＋k＜0(k∈R)．
解：①当 k＝0 时，不等式的解为 x＞0．
②当 k＞0 时，若Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时，不等式的解为＜x＜；
若Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解．
③当 k＜0 时，
若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜或x＞；
若Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；
若Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠ －1．
综上所述，
当k≥1 时，不等式的解集为∅；
当0＜k＜1 时，不等式的解集为{x|＜x＜}；
当k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R．

点　拨：
解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；
(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．
(2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，
当a＝0时，－x≥0不恒成立；
当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，
需即解得a≥，即a的取值范围是．故填．
类型二　二次不等式、二次函数及二次方程的关系
　(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1 (　　)
A． B．
C．{x|－21}
解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋ 2＝0的两根，且a＜0．
由韦达定理得⇒
所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0．
解得－1＜x＜．故选B．
点　 拨：
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．
(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；
(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，则所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋，
函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－，所以实数c的取值范围为．

点　拨：
三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．
　　
　(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(Ⅰ)求a，b；
(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．
解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得
解得
(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．
①当c>2时，不等式的解集为{x|2 ②当c<2时，不等式的解集为{x|c ③当c＝2时，不等式的解集为∅．
(2)()已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) 解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－．
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝．
又因为f(x)0，
则－－ 所以
②－①得2＝6，所以c＝9．
另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋．
又f(x) 所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋－c＝0的两根
x1＝m，x2＝m＋6，则
|x1－x2|＝6＝＝，
解得c＝9．故填9．

类型三　分式不等式的解法
　解下列不等式．
(1)<0；(2)≥0；(3)>1．
解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
所以－1 故原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以
所以即－ 故原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为－1>0，即>0，
所以>0，则x<－2．
故原不等式的解集为{x|x<－2}．

点　拨：
首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．
　　
　(1)不等式≤1的解集为________．
解：≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ≥0．
方法一：≥0 ⇔
得{x|x＞－或x≤－2}．
方法二：≥0 ⇔ 或
得{x|x＞－或x≤－2}．
故填{x|x＞－或x≤－2}．

(2)()已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝(　　)
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)
解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1 类型四　和一元二次不等式有关的恒成立问题
　设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则⇒－4 所以m的取值范围为(－4，0]．
(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
需m＋m－6<0，x∈[1，3]．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
则需g(x)max<0．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，所以m<0．
综上所述，m的取值范围为．
方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝＋>0，所以m<，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围为．

点　 拨：
①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，
③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．
注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
　　
　(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋ (a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围是________．
解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<0，解得－2 (2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有： 即 解得
所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．



1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．
2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式)
3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．
5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．
6．一元二次不等式求解的程序框图


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．()函数f(x)＝的定义域是 (　　)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
解：由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．
2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．
3．()已知关于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，则a的值为
(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
解：由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故 a＝2．故选D．
4．()若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．(0，4] D．[0，4]
解：由题意知a＝0时，满足条件．
当a≠0时，由得0 5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是
(　　)
A．x>1或x< B．x>1或－1 C．－1
解：原不等式等价于或
所以或
所以x>1或－1 6．()关于x的不等式x2－ 2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝ (　　)
A． B． C． D．
解：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝ (x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝．故选A．
7．()不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．
8．关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设f(x)＝2x2－8x＋6，则需m 9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是．
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集．
解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，
由根与系数的关系得＋2＝－，解得a＝－2．
(2)将a＝－2代入不等式得>3，即－3>0，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2 10．()已知函数f(x)＝的定义域为R．
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有解得0 综上，a的取值范围是[0，1]．
(2)因为f(x)＝＝，
显然a＝0时f(x)min≠，故a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，所以a＝．
所以x2－x－－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－ 11．()已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R．
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝a－．当a>0时，不符合题意；当a<0时，f(x)有最大值，则－＝，解得a＝－2或－．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，
①当a＝0时，解集为{x|x>1}；
②当a>0时，(x－1)>0，
解集为；
③当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
④当－ 解集为；
⑤当a<－时，(x－1)<0，
解集为．
()已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8·＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|>，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．




7．2　一元二次不等式及其解法


1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为__________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是__________．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．
(4)一元二次不等式的解

函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1,x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝
－
无实根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
①　　　　　
②　　　　　
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
③　　　　
4．分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
⇔ f(x)g(x)＞0；
＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
≥0 ⇔
≤0 ⇔
自查自纠：
1．(1)同解不等式　(2)同解变形
2．　　　　a＝0，b＜0
3．(1)一元二次　(2)解集　(3)两边　中间
(4)①　②　③∅


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()不等式<1的解集是
(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，1)
解：因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．
()不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，2] B．(－2，2]
C．(－2，2) D．(－∞，2)
解：当a≠2时，有 所以－2 ()已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为 (　　)
A． B．
C．{x|－32}
解：由题意得解得a＝ －1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为．故选A．
()已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．
解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故填[－4，＋∞)．
()已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a＝________．
解法一：由题意得，x1＋x2＝a　①，x1x2＝ －6a2　②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝5，所以25a2＝50，解得a＝±，因为a<0，所以a＝－．
解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a， x2＝－2a．又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－．故填－．


类型一　一元二次不等式的解法
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；
(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．
解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3， x2＝4．
而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．
而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．

(2)解关于 x 的不等式 kx2－2x＋k＜0(k∈R)．
解：①当 k＝0 时，不等式的解为 x＞0．
②当 k＞0 时，若Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时，不等式的解为＜x＜；
若Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解．
③当 k＜0 时，
若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜或x＞；
若Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；
若Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠ －1．
综上所述，
当k≥1 时，不等式的解集为∅；
当0＜k＜1 时，不等式的解集为{x|＜x＜}；
当k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R．

点　拨：
解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；
(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．
(2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，
当a＝0时，－x≥0不恒成立；
当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，
需即解得a≥，即a的取值范围是．故填．
类型二　二次不等式、二次函数及二次方程的关系
　(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1 (　　)
A． B．
C．{x|－21}
解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋ 2＝0的两根，且a＜0．
由韦达定理得⇒
所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0．
解得－1＜x＜．故选B．
点　 拨：
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．
(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；
(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，则所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋，
函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－，所以实数c的取值范围为．

点　拨：
三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．
　　
　(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(Ⅰ)求a，b；
(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．
解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得
解得
(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．
①当c>2时，不等式的解集为{x|2 ②当c<2时，不等式的解集为{x|c ③当c＝2时，不等式的解集为∅．
(2)()已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) 解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－．
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝．
又因为f(x)0，
则－－ 所以
②－①得2＝6，所以c＝9．
另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋．
又f(x) 所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋－c＝0的两根
x1＝m，x2＝m＋6，则
|x1－x2|＝6＝＝，
解得c＝9．故填9．

类型三　分式不等式的解法
　解下列不等式．
(1)<0；(2)≥0；(3)>1．
解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
所以－1 故原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以
所以即－ 故原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为－1>0，即>0，
所以>0，则x<－2．
故原不等式的解集为{x|x<－2}．

点　拨：
首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．
　　
　(1)不等式≤1的解集为________．
解：≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ≥0．
方法一：≥0 ⇔
得{x|x＞－或x≤－2}．
方法二：≥0 ⇔ 或
得{x|x＞－或x≤－2}．
故填{x|x＞－或x≤－2}．

(2)()已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝(　　)
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)
解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1 类型四　和一元二次不等式有关的恒成立问题
　设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则⇒－4 所以m的取值范围为(－4，0]．
(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
需m＋m－6<0，x∈[1，3]．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
则需g(x)max<0．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，所以m<0．
综上所述，m的取值范围为．
方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝＋>0，所以m<，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围为．

点　 拨：
①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，
③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．
注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
　　
　(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋ (a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围是________．
解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<0，解得－2 (2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有： 即 解得
所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．



1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．
2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式)
3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．
5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．
6．一元二次不等式求解的程序框图


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．()函数f(x)＝的定义域是 (　　)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
解：由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．
2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．
3．()已知关于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，则a的值为
(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
解：由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故 a＝2．故选D．
4．()若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．(0，4] D．[0，4]
解：由题意知a＝0时，满足条件．
当a≠0时，由得0 5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是
(　　)
A．x>1或x< B．x>1或－1 C．－1
解：原不等式等价于或
所以或
所以x>1或－1 6．()关于x的不等式x2－ 2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝ (　　)
A． B． C． D．
解：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝ (x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝．故选A．
7．()不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．
8．关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设f(x)＝2x2－8x＋6，则需m 9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是．
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集．
解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，
由根与系数的关系得＋2＝－，解得a＝－2．
(2)将a＝－2代入不等式得>3，即－3>0，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2 10．()已知函数f(x)＝的定义域为R．
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有解得0 综上，a的取值范围是[0，1]．
(2)因为f(x)＝＝，
显然a＝0时f(x)min≠，故a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，所以a＝．
所以x2－x－－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－ 11．()已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R．
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝a－．当a>0时，不符合题意；当a<0时，f(x)有最大值，则－＝，解得a＝－2或－．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，
①当a＝0时，解集为{x|x>1}；
②当a>0时，(x－1)>0，
解集为；
③当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
④当－ 解集为；
⑤当a<－时，(x－1)<0，
解集为．
()已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8·＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|>，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．




7．2　一元二次不等式及其解法


1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是__________．
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的__________．
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为__________；当a＜0时，解集为__________．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是__________．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取__________，小于号取__________”求解集．
(4)一元二次不等式的解

函数、方程与不等式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1,x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝
－
无实根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
①　　　　　
②　　　　　
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
③　　　　
4．分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
⇔ f(x)g(x)＞0；
＜0 ⇔ f(x)g(x)＜0；
≥0 ⇔
≤0 ⇔
自查自纠：
1．(1)同解不等式　(2)同解变形
2．　　　　a＝0，b＜0
3．(1)一元二次　(2)解集　(3)两边　中间
(4)①　②　③∅


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
()不等式<1的解集是
(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，1)
解：因为<1，所以－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1．故选A．
()不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，2] B．(－2，2]
C．(－2，2) D．(－∞，2)
解：当a≠2时，有 所以－2 ()已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集为 (　　)
A． B．
C．{x|－32}
解：由题意得解得a＝ －1，b＝－6，所以不等式bx2－5x＋a>0为－6x2－5x－1>0，即(3x＋1)·(2x＋1)<0，所以解集为．故选A．
()已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是________．
解：依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，则函数g(x)的值域取遍一切正实数，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4．故填[－4，＋∞)．
()已知关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，且x2－x1＝5，则a＝________．
解法一：由题意得，x1＋x2＝a　①，x1x2＝ －6a2　②，①2－4×②可得(x2－x1)2＝25a2，又x2－x1＝5，所以25a2＝50，解得a＝±，因为a<0，所以a＝－．
解法二：关于x的不等式x2－ax－6a2>0(a<0)可化为(x＋2a)(x－3a)>0，因为a<0，所以－2a>3a，所以解不等式得x>－2a或x<3a，所以x1＝3a， x2＝－2a．又x2－x1＝5，所以－5a＝5，所以a＝－．故填－．


类型一　一元二次不等式的解法
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)x2－7x＋12＞0；
(Ⅱ)x2－2x＋1＜0．
解：(Ⅰ)方程x2－7x＋12＝0的解为x1＝3， x2＝4．
而y＝x2－7x＋12的图象开口向上，可得原不等式x2－7x＋12＞0的解集是{x|x＜3或x＞4}．
(Ⅱ)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝1．
而y＝x2－2x＋1的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋1＜0的解集为∅．

(2)解关于 x 的不等式 kx2－2x＋k＜0(k∈R)．
解：①当 k＝0 时，不等式的解为 x＞0．
②当 k＞0 时，若Δ＝4－4k2＞0，即 0＜k＜1 时，不等式的解为＜x＜；
若Δ≤0，即 k≥1 时，不等式无解．
③当 k＜0 时，
若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，x＜或x＞；
若Δ＜0，即 k＜－1 时，不等式的解集为 R；
若Δ＝0，即 k＝－1 时，不等式的解为 x≠ －1．
综上所述，
当k≥1 时，不等式的解集为∅；
当0＜k＜1 时，不等式的解集为{x|＜x＜}；
当k＝0 时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为{x|x＜或x＞}；
当k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
当k＜－1时，不等式的解集为R．

点　拨：
解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．解含参数的一元二次不等式常分以下几种情况讨论：①根据二次项系数讨论(大于 0，小于 0，等于 0)；②根据根的判别式讨论(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)；③根据根的大小讨论(x1>x2，x1＝x2，x1
　(1)解下列不等式．
(Ⅰ)－x2－2x＋3≥0；
(Ⅱ)x2－2x＋2＞0．
解：(Ⅰ)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0．
方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1．
而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．
(Ⅱ)因为Δ＜0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2＞0的解集为R．
(2)若关于x的不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则实数a的取值范围是________．
解：依题意知，问题等价于ax2－x＋2a≥0恒成立，
当a＝0时，－x≥0不恒成立；
当a≠0时，要使ax2－x＋2a≥0恒成立，
需即解得a≥，即a的取值范围是．故填．
类型二　二次不等式、二次函数及二次方程的关系
　(1)已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1 (　　)
A． B．
C．{x|－21}
解：由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋ 2＝0的两根，且a＜0．
由韦达定理得⇒
所以不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0．
解得－1＜x＜．故选B．
点　 拨：
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．
(2)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0．当x∈(－3，2)时，f(x)>0．
(Ⅰ)求f(x)在[0，1]内的值域；
(Ⅱ)若ax2＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
解：(Ⅰ)依题意知，－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，且a<0，则所以a＝－3，b＝5，则f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋，
函数f(x)的图象关于直线x＝－对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0，1]上f(x)为减函数，所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12．故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，不等式ax2＋bx＋c≤0即为－3x2＋5x＋c≤0，因为二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ＝25＋12c≤0，即c≤－，所以实数c的取值范围为．

点　拨：
三个“二次”在高考中举足轻重，每年高考中，至少有三分之一的题目与之相关．直接考查的不多见，以间接考查为主，贯穿高中数学的始终．其中二次函数居核心地位．
　　
　(1)已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(Ⅰ)求a，b；
(Ⅱ)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0．
解：(Ⅰ)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系，得
解得
(Ⅱ)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0．
①当c>2时，不等式的解集为{x|2 ②当c<2时，不等式的解集为{x|c ③当c＝2时，不等式的解集为∅．
(2)()已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x) 解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－．
因为f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以b－＝0，即b＝，所以f(x)＝．
又因为f(x)0，
则－－ 所以
②－①得2＝6，所以c＝9．
另解：由题意知f(x)＝x2＋ax＋．
又f(x) 所以方程f(x)－c＝0即x2＋ax＋－c＝0的两根
x1＝m，x2＝m＋6，则
|x1－x2|＝6＝＝，
解得c＝9．故填9．

类型三　分式不等式的解法
　解下列不等式．
(1)<0；(2)≥0；(3)>1．
解：(1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0，
所以－1 故原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为≤0，所以
所以即－ 故原不等式的解集为．
(3)原不等式可化为－1>0，即>0，
所以>0，则x<－2．
故原不等式的解集为{x|x<－2}．

点　拨：
首先通过“移项、通分”，将不等式右边化为0，左边化为的形式，将原分式不等式化为标准型，然后将化为标准型的分式不等式等价转化为整式不等式(组)来求解，注意分母不为0．
　　
　(1)不等式≤1的解集为________．
解：≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ≥0．
方法一：≥0 ⇔
得{x|x＞－或x≤－2}．
方法二：≥0 ⇔ 或
得{x|x＞－或x≤－2}．
故填{x|x＞－或x≤－2}．

(2)()已知两个集合A＝{x|y＝ln(－x2＋x＋2)}，B＝，则A∩B＝(　　)
A． B．
C．(－1，e) D．(2，e)
解：由题意得A＝{x|－x2＋x＋2>0}＝{x|－1 类型四　和一元二次不等式有关的恒成立问题
　设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立；
若m≠0，则⇒－4 所以m的取值范围为(－4，0]．
(2)方法一：要使x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，
需m＋m－6<0，x∈[1，3]．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
则需g(x)max<0．
当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6，所以7m－6<0，解得m<，所以0 当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，所以m<0．
综上所述，m的取值范围为．
方法二：f(x)<－m＋5恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，因为x2－x＋1＝＋>0，所以m<，在x∈[1，3]上恒成立．又函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围为．

点　 拨：
①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，
③处理与一元二次不等式有关的恒成立问题常可用分离参数的方法，很多时候都可以减少不必要的讨论，其中：f(x)≤a恒成立⇔a≥f(x)max；f(x)≥a恒成立⇔a≤f(x)min．
注意：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
　　
　(1)对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋ (a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围是________．
解：由题意知，f(x)图象的开口向上，故要使f(x)>0恒成立，只需Δ<0，即(a－4)2－4(5－2a)<0，解得－2 (2)对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范围为________．
解：原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有： 即 解得
所以x＜－1或x＞3．故填(－∞，－1)∪(3，＋∞)．



1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的解集的确定，受二次项系数a的符号及判别式Δ＝b2－4ac的符号制约，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集；二次函数y＝ax2＋bx＋c的值恒大于0的条件是a＞0且Δ＜0；若恒大于或等于0，则a＞0且Δ≤0．若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形．
2．解分式不等式要使一边为零；求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式)
3．解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论．对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确．
4．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．
5．各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想．
6．一元二次不等式求解的程序框图


　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．()函数f(x)＝的定义域是 (　　)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3)
解：由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D．
2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解：依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，则q＋1＝－p，即p＋q＝－1．故选B．
3．()已知关于x的不等式>0的解集是(－∞，－1)∪，则a的值为
(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
解：由题意得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)>0，由解集的特点可得a>0且＝，故 a＝2．故选D．
4．()若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，4) B．[0，4)
C．(0，4] D．[0，4]
解：由题意知a＝0时，满足条件．
当a≠0时，由得0 5．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是
(　　)
A．x>1或x< B．x>1或－1 C．－1
解：原不等式等价于或
所以或
所以x>1或－1 6．()关于x的不等式x2－ 2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝ (　　)
A． B． C． D．
解：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝ (x＋2a)(x－4a)＝0的两根，则x1＝－2a，x2＝4a，4a＋2a＝15，得a＝．故选A．
7．()不等式2x2－3|x|－35>0的解集为________．
解：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－(舍)⇔x>5或x<－5．故填{x|x<－5或x>5}．
8．关于x的不等式<2对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，所以原不等式即4x＋m<2(x2－2x＋3)恒成立，所以m<2x2－8x＋6恒成立，设f(x)＝2x2－8x＋6，则需m 9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是．
(1)求a的值；
(2)求不等式>a＋5的解集．
解：(1)依题意知，a<0且ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，
由根与系数的关系得＋2＝－，解得a＝－2．
(2)将a＝－2代入不等式得>3，即－3>0，
整理得>0，即(x＋1)(x＋2)<0，解得－2 10．()已知函数f(x)＝的定义域为R．
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a<0．
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，则有解得0 综上，a的取值范围是[0，1]．
(2)因为f(x)＝＝，
显然a＝0时f(x)min≠，故a>0，所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意，得＝，所以a＝．
所以x2－x－－<0，即(2x＋1)(2x－3)<0，解得－ 11．()已知函数f(x)＝ax2＋x－a，a∈R．
(1)若函数f(x)有最大值，求实数a的值；
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
解：(1)由题意，a≠0，则f(x)＝a－．当a>0时，不符合题意；当a<0时，f(x)有最大值，则－＝，解得a＝－2或－．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，
①当a＝0时，解集为{x|x>1}；
②当a>0时，(x－1)>0，
解集为；
③当a＝－时，(x－1)2<0，解集为∅；
④当－ 解集为；
⑤当a<－时，(x－1)<0，
解集为．
()已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c．
(1)求证：函数y＝f(x)必有两个不同的零点；
(2)若函数y＝f(x)的两个零点分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
解：(1)证明：由题意知a＜0，a＋b＋c＝0，且－>1，所以c＜a＜0，所以ac>0，所以对于函数f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，所以函数y＝f(x)必有两个不同零点．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝＋8·＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t>1)，由根与系数的关系知＝t，所以|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
所以|m－n|>，
所以|m－n|的取值范围为(，＋∞)．