高考数学(理数)一轮复习学案7．1《不等关系与不等式》(含详解)

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7．1　不等关系与不等式



1．两个实数大小的比较
(1)a＞b⇔a－b________．
(2)a＝b⇔a－b________．
(3)a＜b⇔a－b________．
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔__________．
(2)传递性：a>b，b>c⇒__________．
(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c．
(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，
不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________．
(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________．
※(6)异向不等式相减：a>b，c (7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________．
※(8)异向不等式相除：a>b>0，0 ※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒＜．
(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________．
(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．
注：(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．

自查自纠：
1．＞0　＝0　＜0
2．(1)bc　(3)>　(4)ac>bc　ac (5)a＋c>b＋d　(7)ac>bd
(10)an>bn(n∈N且n≥2)
(11)>(n∈N且n≥2)


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下列说法正确的是 (　　)
A．若>1，则a>b
B．一个不等式的两边加上或乘以同一个实数，不等号方向不变
C．一个非零实数越大，则其倒数就越大
D．a>b>0，c>d>0⇒>
解：举反例易知A，B，C均错误，c>d>0⇒>>0，故选项D正确．故选D．
()若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是 (　　)
A．＜ B．＜
C．a＋＜b＋ D．＜
解：因为a＜b＜0，所以b－a＞0，ab＞0，－＝＞0，因此A错误；由函数f(x)＝是减函数知＞，B错误；由－＝ (a－b)＜0知C正确．或用特值法，取a＝－2，b＝－1，排除A，B，D．故选C．
()若a，b都是实数，则 “－>0”是“a2－b2>0”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：由－>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“－>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．故选A．
已知a＝2，b＝＋2，则a，b的大小关系是a__________b．
解：由于a＝2，b＝＋2，平方作差得a2－b2＝28－14－8＝14－8＝8＞0，从而a＞b．故填＞．
()若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是________．(填序号)
①a－b>0；②a3＋b3>0；③a2－b2<0；④a＋b<0．
解：a＋|b|<0⇒a<0且－a>|b|，由|b|≥－b得 －a>－b⇒a－b<0，①错；由|b|≥b得－a>b⇒－a3>b3⇒a3＋b3<0，②错；由|a|＝－a>|b|⇒a2>b2⇒a2－b2>0，③错；由－a>b⇒a＋b<0，④对．故填④．


类型一　建立不等关系
　()用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于108 m2，靠墙的一边长为x m，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解：设矩形靠墙的一边长为x m，
则另一边长为 m，即 m，
根据题意知 故填

点　拨：
解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．

　()某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%．若p>q>0，则提价多的方案是________．
解：设原价为a，方案甲提价后为a(1＋p%)(1＋q%)，
方案乙提价后为a，
因为＝
≥()2＝(1＋p%)(1＋q%)，
又因为p>q>0，所以等号不成立，则提价多的为方案乙．
另解：用作差法来比较．故填乙．

类型二　不等式的性质
　(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是 (　　)
A．若a>b，c≠0，则ac>bc
B．若a>b，则ac2>bc2
C．若ac2>bc2，则a>b
D．若a>b，则<
解：对于选项A，当c<0时，不正确；
对于选项B，当c＝0时，不正确；
对于选项C，因为ac2>bc2，所以c≠0，所以c2>0，所以一定有a>b，故选项C正确；
对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．故选C．
(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出<成立的条件的序号是________．
解：运用倒数法则，a>b，ab>0⇒<，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．故填①②④．

点　 拨：
利用不等式性质进行命题的判断时：①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时常常还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．
　　
　(1)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
(　　)
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
解：由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜．故选D．
(2)若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A．a＋c>b－c B．(a－b)c2>0
C．a3>b3 D．a2>b2
解：对于A，由于不知道c的正负及大小，故无法判断a＋c与b－c的大小关系，所以错误；对于B，当c＝0时，(a－b)c2>0不成立，所以错误；对于D，需要保证|a|>|b|，才能得到a2>b2，所以错误．故选C．
类型三　不等式性质的应用
　(1)已知－1 解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)
＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
则⇒
所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
而－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<，
所以3<2x－y<8，即2x－y∈(3，8)．
解法二：令则
且－1 所以2x－3y＝2·－3·＝－＋b，
因为－1 所以－2<－<，5 所以3<－＋b<8，即2x＋y∈(3，8)．
解法三：由线性规划知识求解．故填(3，8)．
(2)若实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是________．
解法一：由3≤xy2≤8，4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，得2≤≤27，故的最大值是27．
解法二：设＝·(xy2)n，
则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，
所以即
又因为16≤≤81，≤(xy2)－1≤，
所以2≤≤27，故的最大值为27．故填27．
点　 拨：
由a 　(1)若角α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．
解：因为－＜α＜β＜，所以－＜α＜，－＜β＜，－＜－β＜，而α＜β，所以－π＜α－β＜0，所以2α－β＝(α－β)＋α∈．故填．

(2)()若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是________．
解：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，
得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，
则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，
所以－1≤lg≤5．故填[－1，5]．
类型四　比较大小
　(1)()若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为 (　　)
A．pq D．p≥q
解：p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0．
若a＝b，则p－q＝0，即p＝q；
若a≠b，则p－q<0，即p 综上，p≤q．故选B．
(2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与 (ab) 的大小．
解：因为a>0，b>0，
所以＝＝ab＝，
若a>b>0，则>1，a－b>0，
由指数函数的性质知>1；
若b>a>0，则0<<1，a－b<0，
由指数函数的性质知>1．
综上知，>1，又(ab)>0，所以aabb>(ab)．

点　 拨：
作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论．

　(1)()已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．
解：a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1．故填a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1．
(2)若0 解：因为01且2a<1，所以a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝ －2＋<，即a<2ab<．又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，即a2＋b2>．a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1>0，b－1<0，所以a2＋b2－b<0，所以a2＋b2 另解：用特值法比较，如取a＝，b＝．
故填a<2ab< 　　
　()已知a＝3，b＝ log，c＝log2，则 (　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
解：因为a＝3>1，0b>c．故选A．

点　 拨：
比较大小的常用方法：①作差法；②作商法；③放缩法．在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．
　　
　设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则 (　　)
A．P>Q B．P C．P≤Q D．P≥Q
解：因为2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2，则有P>Q．故选A．



1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．
2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．
5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系．
6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()下列命题中，正确的是
(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则a D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解：选项A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；选项B：当c<0时，ac>bc⇒a0，所以a 2．()已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A．|a|<|b| B．>
C．＞ D．lna>lnb
解：取a＝2，b＝1，则2＝|a|>|b|＝1，＝<＝1，a＝2＝<＝1，lna＝ln2>0＝ln1＝lnb．故选D．
3．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是 (　　)
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc D．>0
解：A项：当c<0时，不等式a＋cb⇒a－b>0，c2≥0，故(a－b)c2≥0；C项：当c＝0时，ac＝bc；D项：当c＝0时， ＝0．故选B．
4．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解：若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．故选D．
5．()若<<0，则下列结论正确的是 (　　)
A．a2>b2 B．1>>
C．＋<2 D．aeb>bea
解：由题意，b>1，＋>2，因为beb>0，－b>－a>0，所以－bea>－aeb，所以aeb>bea．故选D．
6．()已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则 (　　)
A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
解：因为a，b>0且a≠1，b≠1，所以当a>1，即a－1>0时，不等式logab>1可化为logab>logaa，则b>a>1，所以(a－1)(a－b)<0，(a－1)(b－1)>0， (b－1)(b－a)>0．当01可化为logab>logaa，即00，(b－1)(b－a)>0．故选D．
7．若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是________．
解：由1＜α＜3得＜＜，由－4＜β＜2得 －2＜－β＜4，所以－β的取值范围是．故填．
8．设a>b>0，m≠－a，则>时，实数m满足的条件是________．
解：由>得>0，因为a>b>0，所以>0，即或所以m>0或m<－a，即m满足的条件是m>0或m<－a．故填m<－a或m>0．
9．已知a＋b＞0，且a≠b，比较＋与＋的大小．
解：＋－
＝＋
＝(a－b)
＝(a－b)·
＝－．
而a＋b＞0，a≠b，故上式小于0．
从而＋＜＋．
10．()设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b．
则解得
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围是[5，10]．
解法二：由
得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10，
即f(－2)的取值范围是[5，10]．
11．(1)设x (2)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求证：>．
解：(1)方法一： (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
因为x0，x－y<0，
所以－2xy(x－y)>0，
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
方法二：因为xy2，x＋y<0．
所以(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0，
所以0<＝<1，
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
(2)证明：－＝．
因为>且a，b∈(0，＋∞)，所以b>a>0，
又因为x>y>0，所以bx>ay>0，
所以>0，所以>．
甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？
解：设从寝室到教室的路程为s，甲、乙两人的步行速度为v1，跑步速度为v2，且v1 甲所用的时间t甲＝＋＝，
乙所用的时间t乙满足：·v1＋·v2＝s，则t乙＝，
所以＝·＝
＝>＝1．
因为t甲>0，t乙>0，
所以t甲>t乙，即乙先到教室．