2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第七章7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲
考情考向分析
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
以线性、非线性目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度为中低档.



1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分

2.线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题


概念方法微思考
1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．
2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　√　)
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)
题组二　教材改编
2．不等式组表示的平面区域是(　　)


答案　B
解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．
3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
答案　
解析　用表格列出各数据．

A
B
总数
产品吨数
x
y

资金
200x
300y
1 400
场地
200x
100y
900

所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.
题组三　易错自纠
4．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案　C
解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
5．(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案　6
解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示．

由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
6．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．
答案　－1
解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.


二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1　(1)(2020·汉中质检)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
答案　
解析　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，

通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组解得A点坐标为，点B坐标为(1,0)，点C坐标为(2,0)因此S△ABC＝×(2－1)×＝，所以不等式组所表示的平面区域的面积等于.
(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a≥ B．0 C．1≤a≤ D．0 答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l3：x＋y＝.

由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．
即a的取值范围是0 思维升华　平面区域的形状问题主要有两种题型
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
跟踪训练1　在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)
A. B. C．2 D．2
答案　B
解析　不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，

由图知该平面区域的面积为×2×＝，故选B.
求目标函数的最值问题
命题点1　求线性目标函数的最值
例2　(2019·天津市河西区新华中学模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案　C
解析　由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，

将z＝2x－y变为y＝2x－z，当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大，
由得A(1,1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选C.
命题点2　求非线性目标函数的最值
例3　 (1)已知实数x，y满足则z＝的取值范围是________．
答案　
解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C，D(2,3)，的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2,0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z＝的取值范围是.

(2)(2019·保定模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的最大值是(　　)
A. B. C．1 D.
答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

求得区域的顶点分别为A(1,0)，B，C(0,1)，
因为z＝x2＋y2＝()2，它表示区域内的点(x，y)到原点距离的平方，计算A，B，C三点到原点的距离分别为1,＝，1，
所以点B到原点的距离最大，
所以z＝x2＋y2的最大值是2＝.
故选D.
命题点3　求参数值或取值范围
例4　(2019·河南省八市重点高中联考)已知实数x，y满足1≤y≤x＋y≤ax＋3，若y－2x的最大值是3，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．[1,3]
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案　A
解析　不等式1≤y≤x＋y≤ax＋3等价于
化简得
设z＝y－2x，则y＝2x＋z，且z的最大值是3，

由图形知，a－1≤2，解得a≤3，
所以实数a的取值范围是(－∞，3]．
思维升华　常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
跟踪训练2　(1)(2019·安徽省定远中学模拟)若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

令z＝2x＋3y，则y＝－x＋z，分析知，当x＝1，y＝1时，z取得最小值，且zmin＝2＋3＝5.故选B.
(2)(2019·天津市和平区质检)设x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)
A. B．[－3,1]
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D.
答案　B
解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

目标函数z＝表示可行域内的点与点P(－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点C(－1,1)处取得最大值为＝1，
目标函数在点A(－5，－7)处取得最小值为＝－3，
故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.
(3)(2019·绍兴模拟)已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于(　　)
A．7 B．5 C．4 D．1
答案　B
解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

联立直线方程可得交点坐标为
A，
由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
所以－＝－1，解得m＝5.故选B.


1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案　B
解析　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－7 2．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　A
解析　不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1.
3．(2019·天津市芦台一中模拟)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值为(　　)
A．－3 B．1 C．－2 D．2
答案　C
解析　先作可行域如图阴影部分(含边界)所示，

则直线z＝x－y过点A(0,2)时取最小值－2.
4．设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有(　　)
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
答案　A
解析　画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，
(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.
5．(2019·塘沽一中、育华中学模拟)设变量满足约束条件则目标函数z＝x－2y的最大值为(　　)
A．－ B．－ C．－2 D．2
答案　B
解析　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

由z＝x－2y，可得y＝x－z，作出直线l：y＝x，
平移l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴的截距最小，
此时z＝x－2y有最大值，
由可得C，
此时最大值为z＝－2×＝－.故选B.
6．设x，y满足约束条件向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，则满足a⊥b的实数m的最小值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，a⊥b
得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，
根据约束条件画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，

当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，
由解得A，
则实数m的最小值为－2×＋＝－.故选B.
7．(2020·南通模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________．
答案　
解析　由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得
或
不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．

x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，
因为原点到x＋y－2＝0的距离为d＝＝，
原点到x－2y＋3＝0的距离为d＝＝＝<，
所以，x2＋y2的最小值为2＝.
8．(2019·聊城模拟)已知实数x，y满足则的取值范围为________．
答案　
解析　作出不等式组对应的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，

联立直线方程∴A(－1，－1)．
联立直线方程∴B(－1,8)．
表示可行域内的点(x，y)和点P(－3,1)连线的斜率，
由图得，当动点在点A时，取得最小值为＝－1，
当动点在点B时，取得最大值为＝.
即的取值范围为.
9．(2019·岳阳第一中学模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝2－2x＋y的最大值为________．
答案　
解析　由实数x，y满足约束条件作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，

则z＝2－2x＋y的最大值在u＝－2x＋y取到最大值时取得．
联立解得A(1,1)，
化目标函数u＝－2x＋y为y＝2x＋u，
由图可知，当直线y＝2x＋u过A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为2－2＋1＝.
10．(2020·安庆市示范中学联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
莴笋
5吨
1万元
0.5万元
西红柿
4.5吨
0.5万元
0.4万元

那么，该农户一年种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)的最大值为________万元．
答案　43
解析　设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．
由题意可得
z＝0.5×5x＋0.4×4.5y －(x＋0.5y)＝1.5x＋1.3y，
作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，

当直线z＝1.5x＋1.3y经过点A时，z取得最大值，
又解得x＝20，y＝10，
即A(20,10)，代入z＝1.5x＋1.3y可得z＝43.
11．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值．
解　由约束条件作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．

由解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)因为z＝＝，
所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点B到(－3,2)的距离最大，dmax＝＝8，故z的最大值为64.
12．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．

平移初始直线x－y＋＝0，当直线过A(3,4)时，z取最小值－2，过C(1,0)时，z取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4
13．(2019·重庆质检)已知实数x，y满足不等式组且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，则a等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分(含边界)所示：

作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，
当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，
此时z＝2x－y取得最大值，
由可得D(1,1)，
所以z＝2x－y的最大值是1；
当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，
此时z＝2x－y取得最小值，
由可得B(a,2－a)，
所以z＝2x－y的最小值是3a－2，
因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
所以6a－4＝1，解得a＝，故选B.
14．某人有一幢楼房，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
解　设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
由题意可得即
目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－x＋，
画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．

当直线y＝－x平移到经过B点时，z取得最大值，
但B并非整点，故要进一步搜索．
利用B附近的网格，可在B附近找到A(2,9)，C(2,8)，D(3,8)等这几个整点．
因为斜率为－，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知(0,12)，(3,8)为最优整点解．
所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，都可以获得最大收益．

15．(2019·长沙模拟)设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为(　　)
A. B. C. D．3
答案　C
解析　不等式组表示的平面区域Ω1和不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域Ω2如图所示，

对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是点(0,0)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2,2)连线的长度减去圆的半径，
即为－＝.
16．(2019·湖南师范大学附属中学模拟)对满足y≥x2－2ax＋a2＋1的任意x，y，恒有成立，则a的取值范围为________．
答案　
解析　由得
则不等式组表示的平面区域D如图中的阴影部分(含边界)所示．

而y≥x2－2ax＋a2＋1表示的平面区域为在抛物线y＝(x－a)2＋1上或其内部的点集E.由题设知，E⊆D.
下面考虑抛物线y＝(x－a)2＋1与直线y＝－3x和y＝x相切时的情形：
由(x－a)2＋1＝－3x得x2－(2a－3)x＋a2＋1＝0，所以Δ1＝(2a－3)2－4(a2＋1)＝0，解得a＝.
当a＝时，抛物线y＝2＋1恒在直线x＋2y－2＝0的右上方和直线y＝x的左上方区域，因此a＝满足条件；
由(x－a)2＋1＝x，得x2－(2a＋1)x＋a2＋1＝0，
所以Δ2＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝0，即a＝.
同理，可验证a＝满足条件．
结合图形可知，a的取值范围为≤a≤.