2019届二轮复习二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案（全国通用）（理）


第七章 不等式
专题2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（理 ）

【三年高考精选】
1. 【2018年理新课标I卷】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．
【答案】6


2. 【2018年全国卷Ⅲ理】
3.【2018年理数全国卷II】若满足约束条件 则的最大值为__________．
【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点A(5,4)时取最大值9.

4.【2017课标1，理】设x，y满足约束条件，则的最小值为____________ .
【答案】-5
【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最小值 .

5.【2017课标II，理】设满足约束条件则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A


6．【2017课标3，理】已知实数满足，则最小值为________．
【答案】


7．【2016高考新课标1理数】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 g，乙材料1 g，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g，乙材料0.3 g，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 g，乙材料90 g，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.
【答案】
【解析】设生产产品A、产品B分别为、件，利润之和为元，
那么由题意得约束条件目标函数.约束条件等价于①
作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将变形，得，作直线：并平移，当直线经过点时， 取得最大值.
解方程组，得的坐标为.所以当，时，.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.

8．【2016高考新课标2理数】
9．【2016高考新课标3理数】若x，y满足约束条件,则 =x+y的最大值为_____________.
【答案】


【三年高考刨析】
试题
考查考点
数素养
解题关键
2018全国理 1
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握数形结合的解题方法，并能灵活应用
2018全国理 2
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握数形结合的解题方法，并能灵活应用
2018全国理 3



2017全国理 1
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握直线与抛物线位置关系的解题方法，基本不等式的灵活应用
2017全国理 2
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握数形结合的解题方法，并能灵活应用
2017全国理 3
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握数形结合的解题方法，并能灵活应用
2016全国理 1
线性规划的应用
数建模
直观想象
准确掌握数建模，数形结合的解题方法，并能灵活应用
2016全国理 2



2016全国理 3
线性规划的应用
数运算
直观想象
准确掌握数形结合的解题方法，并能灵活应用
命题
规律
总结
对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．
【2019年高考命题预测】
预测2019年将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查生分析问题、解决问题的能力．
【2019年一轮复习指引】
二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注，但对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握．

【2019年高考考点定位】
高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．
考点一、不等式（组）表示的平面区域
典例1【江西省南昌市2018届度复习测试卷（五）】已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为
A． B． C． D．
【答案】B


【备考知识梳理】
二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线上的点（x，y）的坐标满足：；
②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；
③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.
即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
【规律方法技巧】
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域.
【考点针对训练】
1．【河南省2018年一模】设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】A

当或时，圆不经过区域上的点，故选

2．设命题实数满足，命题实数满足，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】命题表示的是下图的圆，命题表示的是下图的三角形区域ABC,所以是既不充分也不必要条件。选D.

【考点2】线性目标函数最优解问题
典例2【四川省双流中2018届考前模拟】若是满足约束条件，且，则的最大值为（ ）
A． 1 B． 4 C． 7 D． 10
【答案】C
【解析】∵点是满足约束条件，∴，画出不等式组表示的平面区域，如图所示：由得目标函数.由图形可知，目标函数过点时，取得最大值，由，解得.∴的最大值为，故选C.

【备考知识梳理】
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如 ＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
【规律方法技巧】
线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.
【考点针对训练】
1. 【江西省南昌市2018届二轮复习测试】已知实数满足：.若目标函数（其中为常数）仅在处取得最大值，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A


2. 【广东省汕头市2018届 (5月)冲刺】设变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则的值是( )
A． 1 B． 0 C． -1 D．
【答案】C
【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图），由，解得，，
目标函数可化为，平移直线可知，当直线经过点截距取最大值，最小，，解得，故选C. ……

【考点3】非线性规划问题
典例3【安徽省定远2018届5月模拟】已知实数， 满足不等式组则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D


【备考知识梳理】
（（1）斜率型：
（2）点点距离型：表示到两点距离的平方；
（3）点线距离型：表示到直线的距离的倍.
【规律方法技巧】
对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解．
【考点针对训练】
1. 【宁夏银川一中2018届第四次模拟】已知实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】由实数x，y满足，作出可行域如图，联立，解得，
，其几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率加2．，的最小值为4．故答案为：4．

2. 【广东省佛山市2018届考前七校联考】若，满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】


【考点4】线性规划问题与其他知识交汇
典例4【浙江省余姚中2018届模拟卷（二）】点在不等式组所确定的区域内（包括边界），已知点，当取最大值时，的最大值和最小值之差为（ ）
A． 52 B． 30 C． 83 D． 82
【答案】B


【备考知识梳理】
线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数常用的数思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力．
【规律方法技巧】
线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理．
【规律方法技巧】
1．已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为 __________．
【答案】
【解析】作出可行域如图所示： 设，由可行域易知．又由得： ，即，而，所以的最小值为，所以，故填．

2．【江西省南昌市2018届测试卷（八）】已知，, ,则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B


【应试技巧点拨】
1．二元一次不等式组表示平面区域的画法：
（1）把二元一次不等式改写成或的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；
（2）用特殊点判断.判断（或）所表示的平面区域时，只要在直线的一侧任意取一点，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.特殊的，当时，常把原点作为特殊点.无等号时用虚线表示不包含直线，有等号时用实线表示包含直线；
（3）设点，，若与同号，则P，Q在直线的同侧，异号则在直线的异侧.
２. 线性规划中的分类讨论思想
随着对线性规划的考查逐年的加深，数思想也开始渗透其中，此类试题给人耳目一新的感觉.其中分类讨论思想先拔头筹.主要类型有：可行域中含有参数引起的讨论和目标函数中含有参数引起的讨论.解法思路关键在于分类标准的得到.
３.应用线性规划解决简单的实际问题
在线性规划的实际问题中把实际问题提炼成数问题，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解.若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当的调整，其方法应以目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.
４． 线性规划和其它知识交汇点
与线性规划相关的知识非常丰富，如与不等式、函数、函数最值等.所以这些为命题者提供了丰富的素材，与线性规划相关的新颖试题也就层出不穷.此类题目着重考查划归思想和数形结合思想，掌握线性规划问题的“画---移---求---答”四部曲，理解线性规划解题程序的实质是解题的关键.
5.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度．参变量的设置形式通常有如下两种：
(1)条件不等式组中含有参变量，由于不能明确可行域的形状，因此增加了解题时画图分析的难度，求解这类问题时要有全局观念，结合目标函数逆向分析题意，整体把握解题的方向；
(2)目标函数中设置参变量，旨在增加探索问题的动态性和开放性．从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法．
6．可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 的大小变化，得到最优解.
7．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．
8．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．
9.解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”，其关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假如图上的最优点并不明显易变时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，从而得正确解.
10．在通过求直线的截距的最值间接求出的最值式时，要注意：当时，截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值；当时，截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值． .
11.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数中的不是直线在轴上的截距，把目标函数化为可知是直线在轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.
12.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．
需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．

1. 【福建省厦门2018届5月适应性考试】已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式组作可行域如图，联立，解得C（4，3）．当a=0时，目标函数化为 =x，由图可知，可行解（4，3）使 =x﹣ay取得最大值，符合题意；当a＞0时，由 =x﹣ay，

2. 【广东省佛山市2018届考前七校联考】若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图，，，
联立解得，的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值，故选

3. 【广东省东莞市2018年考前冲刺】已知变量满足，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作可行域，P(4,3),因为表示可行域内点到定点A（-1，-1）距离的平方，所以的取值范围为 ,选C.

4. 【河北省衡水市2018届第六次模拟】若关于的混合组有解，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C


5．【陕西省黄陵中2018届6月模拟】设满足约束条件，则的最小值为
A． 12 B． 13 C． D．
【答案】A

6．【黑龙江省2018年仿真模拟（十一）】若满足不等式组则的最小值为（ ）
A． 7 B． 6 C． D． 4
【答案】C
【解析】画出可行城如图所示，目标函数可化为，共图象是对称轴为x=3的两条射线，由得取得最小值时的最优解为.即.本题选择C选项.

7．【广东省汕头市2018届 (5月)】已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B


8．【广东省广州市2018届七校联考】若平面区域夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的斜率是__________．
【答案】2或


9．【黑龙江省哈尔滨市2018届押题卷（二）】已知实数、满足约束条件，若使得目标函数取最大值时有唯一最优解，则实数的取值范围是_______________（答案用区间表示）
【答案】
【解析】作出不等式组表示的可行域，如图所示，令，则可得，当最大时，直线的纵截距最大，画出直线将变化，结合图象得到当时，直线经过时纵截距最大，，故答案为.

10． 【江西省南昌市2018届复习测试六】某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10 的概率为0.2，年利润获利30 的概率为0.4，年利润获利50 的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60 的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20 的可能性为0.1. 为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍.根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万.
【答案】2.2
【解析】设本地养鱼场平均年利润，远洋捕捞队平均平均年利润，，，设本地养鱼场投千万元，远洋捕捞队投千万元，则利润之和，,如图，当目标函数经过点时利润最大，千万元.

11.【陕西省西安市长安区2017届高三4月模拟】非空集合,当时,对任意实数，目标函数的最大值和最小值至少有一个不存在,则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，不等式组表示的平面区域是半封闭的区域（如图1所示），则对任意实数，目标函数的最大值和最小值至少有一个不存在，即符合题意，故排除选C、D，当时，不等式组表示的平面区域是半封闭的区域（如图2所示），则对任意实数，目标函数的最大值和最小值至少有一个不存在，即符合题意，故排除选B；故选A.

图1 图2
12. 【辽宁省沈阳市东北育才校2017届高三第九次模】若实数满足： ，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B


13. 【河北省衡水中2017届高三二摸】若实数满足条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意画出可行域： =，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为1

14. 【2017届湖南省衡阳市高三第二次联考】已知实数、满足，则的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D


15. 【江苏省如皋市2017届高三联考（二）】设不等式组表示的平面区域为，是区域D上任意一点，则的最小值是___．
【答案】-7



【一年原创真预测】
1. 已知变量满足条件则目标函数的最大值为（ ）
A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
【答案】B
【解析】变量x，y满足条件的可行域如图：在约束条件下x+2y﹣2≥0，故 =x﹣y+（x+2y﹣2）=2x+y﹣2，易得在（3，3）处取得最大值7．在约束条件x+2y﹣2＜0，可行域是空集．故选：B．

【入选理由】本题主要考查线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.故选此题.
2. 若实数满足约束条件，则的范围为___________.
【答案】


【入选理由】本本题考查线性规划问题等知识，意在考查生的画图、用图，以及数形结合能力，基本的逻辑推理与计算能力．故选此题.
3. 若称为二元函数，已知，，则的最大值等于( )
A． B． C. D．
【答案】B


【入选理由】本题考查线性规划、新定义等基础知识，意在考查生的数形结合思想，逻辑思维能力及基本运算能力.此题是一个新定义题，也是一个常规题，比较简单，故选此题.
4. 已知实数，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中表示可行域内的点与点之间距离的平方，且点在可行域内，据此可知的最小值为，的最小值为；由几何意义可知目标函数在点处取得最大值，联立直线方程：可得：，此时目标函数的最大值为：，综上可得，的取值范围是.

【入选理由】本题主要考查线性规划的综合应用，意在考查生的运算求解能力以及数形结合思想．，此题是线性规划与基本不等式结合，通过数形结合即可解出，此题构思比较巧，故选此题.
5. 已知函数 ，若，实数满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
【答案】


【入选理由】本题考查分段函数求值，线性规划的应用等基础知识，意在考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．.本题考查线性规划与函数交汇，难度不大，故选此题．