高考数学(理数)一轮复习学案9．8《抛物线》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．8《抛物线》(含详解)，共10页。

9．8　抛　物　线



1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程及几何性质

标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝
－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝
－2py
(p＞0)
图形




性
质
焦点
①　　　　
②
③　　　　
④
准线
⑤x＝
－
⑥　　　　
⑦y＝
－
⑧　　　　
范围
⑨x≥0，y∈R
⑩　　　　
　　　　
y≤0，x∈R
对称
轴
　　　　　　　　　　
y轴
顶点
原点O(0，0)
离心
率
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
开口
　　　　
向左
向上
　　　　


自查自纠：
1．l　焦点　准线
2．①　③　⑥x＝　⑧y＝
⑩x≤0，y∈R　⑪y≥0，x∈R　⑬x轴　⑯e＝1
⑰向右　⑳向下


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
抛物线y＝2x2的焦点坐标是 (　　)
A． B．
C． D．
解：由抛物线的标准方程为x2＝y，可知＝，所以焦点坐标是．故选C．
A(，1)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，则A到该抛物线的焦点F的距离为 (　　)
A． B．＋
C．2 D．＋1
解：把A(，1)代入抛物线方程得2＝2p，得p＝1，
所以A到焦点的距离为1＋＝，则|AF|＝，故选A．
()以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为 (　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解：不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，点A在第一象限，点D在第二象限．根据抛物线的对称性可得点A的纵坐标为2，代入抛物线方程得 x＝，即A．易知点D，由于点A，D都在以坐标原点为圆心的圆上，所以＋8＝＋5，解得p＝4，此即为抛物线的焦点到准线的距离．故选B．
设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解：如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|．

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．故填4．
()已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的标准方程为________．
解：由题意，得＝．因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，所以c＝，则a2＋b2＝c2＝7，得a＝2，b＝，所以双曲线的标准方程为－＝1．故填－＝1．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　抛物线的定义和性质
　(1)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．
解：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±．
因为＞2，所以点A在抛物线内部，如图．

设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
所以点P的坐标为(2，2)．故填(2，2)．
(2)()已知抛物线C1：y＝ x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于点M(M在第一象限)，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝ (　　)
A． B． C． D．
解：由抛物线C1：y＝x2(p＞0)得x2＝2py(p＞0)，所以抛物线的焦点坐标为(0，)．
由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2．所以双曲线的右焦点为(2，0)．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为＝，即px＋4y－2p＝0．①
则C1在点M处的切线的斜率为．
由题意可知＝，解得x0＝p，
所以M(p，)，
把M点的坐标代入①得＋p－2p＝0，解得p＝，或p＝0(舍去)．故选D．

点　拨：
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．另外，抛物线切线相关问题，注意应用导数工具，可避免联立，使问题简单化．
　　
　(1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ＞0)，则λ的值为 (　　)
A． B． C． D．3
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4，不妨取点A(4，4)，
则直线AB的方程为y＝2(x－2)，
令x＝－2，得C(－2，－8)，
联立方程组
解得B(1，－2)，
所以|BF|＝3，|BC|＝9，所以λ＝3．故选D．
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

解：如图，
易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为＝．故填．

类型二　抛物线的标准方程及其性质
　(1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 (　　)
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解：因为－＝1的离心率为2，
所以＝2，即＝＝4，所以＝3，＝．
x2＝2py(p>0)的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．由题意得＝2，所以p＝8．故C2的方程为x2＝16y．故选D．
(2)()已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为
(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝x D．y2＝x
解：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k＞0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2．由得或把(，)代入抛物线方程，得()2＝2p×，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x．故选C．

点　拨：
①求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．②在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
　　
　(1)()如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为 (　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
解：如图，分别过A，B两点作AE，BD⊥准线于点E，D．因为|BC|＝2|BF|，所以由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，

且|AE|＝|AF|＝3，所以|AC|＝6．
即F为AC的中点，
所以p＝|AE|＝，故抛物线方程为y2＝3x．故选C．
(2)()过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．

解：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，不妨令A在第一象限，则A的纵坐标为y＝2，所以A(2，2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，
联立直线与抛物线的方程
解得或故B(，－)，
所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝．故填．
类型三　直线与抛物线
　()设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

、于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
(2)由y＝，得y′＝．
设M(x3，y3)，由题设知＝kAB＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N，由x1＋x2＝4，即可得N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|．
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．
当Δ＝16(m＋1)＞0，即m＞－1时，x1，2＝2±2．
从而|AB|＝|x1－x2|＝4．
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝ 2(m＋1)，解得m＝7．
所以直线AB的方程为y＝x＋7．

点　 拨：
解决直线与抛物线公共点(交点)问题，与直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
　　
　已知AB是抛物线x2＝4y的一条焦点弦，若该弦中点的纵坐标是3，则弦AB所在的直线方程是________．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝m(y－1)，
由抛物线的定义及题设可得y1＋y2＝6，联立消去x可得m2y2－(2m2＋4)y＋ m2＝0．所以y1＋y2＝，即6＝，可得m＝1或m＝－1．故直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．
故填x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．



1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．
2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．
3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．
4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
5．抛物线的几个常用结论
(1)抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r＝．
①y2＝2px(p＞0)，r＝x0＋；
②y2＝－2px(p＞0)，r＝－x0＋；
③x2＝2py(p＞0)，r＝y0＋；
④x2＝－2py(p＞0)，r＝－y0＋．
(2)若AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，＝l．则：
①x1x2＝；
②y1y2＝－p2；
③弦长l＝x1＋x2＋p，因x1＋x2≥2＝p，故当x1＝x2时，l取得最小值，最小值为2p，此时弦AB垂直于x轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．



1．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)
A．(0，a)　 　 B．(a，0)　 　
C．(0，)　 　 D．(，0)
解：抛物线y＝4ax2(a≠0)化为标准方程为x2＝y，因此其焦点坐标为(0，)．故选C．
2．若直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且AB⊥x轴，|AB|＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
解：由|AB|＝4及AB⊥x轴，不妨设点A的纵坐标为2，代入y2＝4x得点A的横坐标为2，从而直线AB的方程为x＝2．又y2＝4x的焦点为(1，0)，所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2－1＝1．故选A．
3．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝
(　　)
A． B．6 C．12 D．7
解：焦点F的坐标为，
方法一：直线AB的斜率为，
所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12．
方法二：由抛物线焦点弦的性质可得
|AB|＝＝＝12．故选C．
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x－2y＋4＝0与C交于A、B两点，则sin∠AFB＝
(　　)
A． B． C． D．
解：由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0，1)，
联立解得或令A(－2，1)，则B(4，4)，所以|AB|＝＝3，|AF|＝＝2，|BF|＝＝5，所以在△ABF中，cos∠AFB＝＝＝ －，所以sin∠AFB＝ ＝．故选B．
5．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为
(　　)

A． 　　　 　B．
C． 　　　 　D．p2
解：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|AF|－|BF|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2．故·＝|AB||CD|＝x1x2＝．故选A．
6．()如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB周长的取值范围为 (　　)

A．(6，10) B．(8，12)
C．[6，8] D．[8，12]
解：抛物线的准线为l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB．由抛物线y2＝8x和圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，即△FAB周长的取值范围为(8，12)．故选B．
7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．
解：易知F(1，0)，设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，所以x0＝1，则直线AB⊥x轴，所以|BF|＝|AF|＝2．故填2．
8．()在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝．
由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，
又|OF|＝，|AF|＋|BF|＝4|OF|，
所以y1＋＋y2＋＝4·，
所以y1＋y2＝p．
从而＝p，所以＝，所以＝．
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x．故填y＝±x．
9．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 (1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝ 2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝．
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x．
(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2．
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，·＝12．
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
解：(1)设直线l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2


因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)(*)化为y2－4my＋8＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8．
设AB的中点为M(xM，yM)，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，m＝±．
所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0．
11．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．
解：(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，所以y1＋y2＝6，所以p＝2，所以抛物线的标准方程是x2＝4y．
(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
由消去y得x2－4kx－24＝0，
所以x3＋x4＝4k，x3x4＝－24．
已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．

(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．
解：(1)由题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，则＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y．
(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．
从而|x1－x2|＝4．由
解得点M的横坐标xM＝＝．同理，点N的横坐标xN＝．
所以|MN|＝|xM－xN|＝|－|＝8||＝，
令4k－3＝t，t≠0，则k＝．
当t＞0时，|MN|＝2·＞2．
当t＜0时，|MN|＝2·≥，当且仅当t＝－时取等号．
综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是．