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    高考数学(理数)一轮复习学案9.1《直线与方程》(含详解)
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    高考数学(理数)一轮复习学案9.1《直线与方程》(含详解)

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    这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9.1《直线与方程》(含详解),共8页。

    9.1 直线与方程



    1.平面直角坐标系中的基本公式
    (1)数轴上A,B两点的距离
    数轴上点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则A,B两点间的距离|AB|=____________.
    (2)平面直角坐标系中的基本公式
    ①两点间的距离公式:在平面直角坐标系中,两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式为
    d(A,B)=|AB|=_________________________.
    ②线段的中点坐标公式:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则
    2.直线的倾斜角与斜率
    (1)直线的倾斜角
    当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴________或________时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为__________________.
    (2)斜率
    一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率,常用小写字母k表示,即k=______(α≠______).当直线平行于x轴或者与x轴重合时,k______0;当直线的倾斜角为锐角时,k______0;当直线的倾斜角为钝角时,k______0;倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同,直线的斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.
    (3)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.
    3.直线方程的几种形式
    (1)截距
    直线l与x轴交点(a,0)的____________叫做直线l在x轴上的截距,直线l与y轴交点(0,b)的____________叫做直线l在y轴上的截距.
    注:截距____________距离(填“是”或“不是”).
    (2)直线方程的五种形式

    名称
    方程
    适用范围
    点斜式

    k存在
    斜截式

    k存在
    两点式


    截距式

    a≠0且b≠0
    一般式

    平面直角坐标系内的所有直线
    注:斜截式是________的特例;截距式是________的特例.
    (3)过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程
    ①若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为____________;
    ②若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为____________;
    ③若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为____________;
    ④若x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为____________.

    自查自纠:
    1.(1)|x2-x1| (2)①
    ② 
    2.(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°
    (2)正切值 tanα 90° = > < 90° (3)
    3.(1)横坐标a 纵坐标b 不是
    (2)①y-y0=k(x-x0) ②y=kx+b
    ③= ④x1≠x2且y1≠y2
    ⑤+=1 ⑥Ax+By+C=0(A,B不同时为0)
    点斜式 两点式
    (3)①x=x1 ②y=y1 ③x=0 ④y=0



                          
    直线x-y+1=0的倾斜角为 (  )
    A.30° B.45° C.120° D.150°
    解:由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tanα=1,又0°≤α<180°,故α=45°.故选B.
    如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 (  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    解:由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.
    已知直线l过点(1,0),且倾斜角为直线l0:x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为
    (  )
    A.4x-3y-3=0 B.3x-4y-3=0
    C.3x-4y-4=0 D.4x-3y-4=0
    解:由题意可设直线l0,l的倾斜角分别为α,2α,
    因为直线l0:x-2y-2=0的斜率为,则 tanα=,
    所以直线l的斜率k=tan2α===,
    所以由点斜式可得直线l的方程为y-0=(x-1),
    即4x-3y-4=0.故选D.
    ()过A(1,2),B(2,1)的直线的斜率为________.
    解:kAB==-1.故填-1.
    直线x+a2y-a=0(a>0),当此直线在x,y轴上的截距和最小时,a的值为________.
    解:方程可化为+=1,因为a>0,所以截距之和t=a+≥2,当且仅当a=,即a=1时取等号,故a的值为1.故填1.


                        
    类型一 直线的倾斜角和斜率
     (1)直线2xcosα-y-3=0的倾斜角的取值范围是 (  )
    A. B.
    C. D.
    解:直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,
    因为α∈,所以≤cosα≤,
    因此k=2cosα∈[1, ].
    设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1, ].
    又θ∈[0,π),所以θ∈,
    即倾斜角的取值范围是.故选B.
    (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.

    解:如图,因为kAP==1,kBP==-,所以直线l的斜率k∈(-∞,-]∪[1, +∞).故填(-∞,-]∪[1,+∞).

    点 拨:
    任一直线都有倾斜角,但斜率不一定都存在;直线倾斜角的范围是[0,π),斜率的取值范围是R.正切函数在[0,π)不单调,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围.解题(2)要注意两点:一是斜率公式的正确计算;二是数形结合写出斜率的范围,切莫想当然认为-≤k≤1.
      
     (1)()直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是 (  )
    A.(-1,)
    B.(-1,)
    C.(-∞,-1)∪(,+∞)
    D.(-∞,-1)∪(,+∞)
    解:取B(-3,0),C(3,0),则kBA=,kCA=-1.故选D.
    (2)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是________.
    解:直线l的斜率k==1+m2≥1,所以k=tanα≥1.
    又y=tanα在(0,)上是增函数,因此≤α<.
    故填[,).
    类型二 求直线方程
     根据所给条件求直线的方程.
    (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
    (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等;
    (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
    解:(1)由题意知,直线的斜率存在,
    设倾斜角为α,则sinα=(α∈[0,π)),
    从而cosα=±,则k=tanα=±.
    故所求直线的方程为y=±(x+4),即x±3y+4=0.
    (2)若截距不为0,设直线的方程为+=1,
    因为直线过点(-3,4),所以+=1,解得a=1.
    此时直线方程为x+y-1=0.
    若截距为0,设直线方程为y=kx,代入点(-3,4),
    有4=-3k,解得k=-,此时直线方程为 4x+3y=0.
    综上,所求直线方程为x+y-1=0或4x+ 3y=0.
    (3)由题意知,当直线的斜率不存在时符合题意,此时直线方程为x-5=0.
    当直线斜率存在时,设其方程为y-10=k(x-5),
    即kx-y+(10-5k)=0.
    由点到直线的距离公式,得=5,解得k=.
    此时直线方程为3x-4y+25=0.
    综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.

    点 拨:
    本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程,难度虽不大,但每小题都有陷阱.题(1)给出了倾斜角的正弦值,求正切值时,应注意倾斜角的范围;题(2)截距相等包括经过原点的直线,还要注意截距不是距离;题(3)应用点斜式求直线方程时,注意点斜式的局限性,它不能表示平面内所有直线.

     (1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程为________.
    解:设直线的斜率为k,则k=-4×=-,又直线经过点A(1,3),故所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.故填4x+3y-13=0.
    (2)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 (  )
    A.m>1且n<1 B.mn<0
    C.m>0且n<0 D.m<0且n<0
    解:因为y=-x+的图象经过第一、三、四象限,故->0,<0,即m>0,n<0为充要条件,因此mn<0是它的一个必要不充分条件.故选B.
    类型三 直线方程的应用
     (1)已知点A(4,-1),B(8,2)和直线 l:x-y-1=0,动点P(x,y)在直线l上,则|PA|+|PB|的最小值为________.

    解:设点A1(x1,y1)与A(4,-1)关于直线l对称,P0为A1B与直线l的交点,所以|P0A1|=|P0A|,|PA1|= |PA|.所以|PA|+|PB|=|PA1| +|PB|≥|A1B|=|A1P0|+|P0B|=|P0A|+|P0B|.
    当P点运动到P0点时,|PA|+|PB|取到最小值|A1B|.
    因为点A,A1关于直线l对称,所以由对称的充要条件知,
    解得 即A1(0,3).
    所以(|PA|+|PB|)min=|A1B|==.
    故填.

    点  拨:
    平面内,两点间连线中直线段最短,这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础.求A关于l的对称点是关键一步,而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据.

    (2)已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,则△AOB面积的最小值为.
    解法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k<0),则A(2-,0),B(0,1-2k),
    S△AOB=(1-2k)(2-)
    =≥(4+4)=4.
    当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立.
    即△AOB面积的最小值为4.
    解法二:设直线l:+=1,且a>0,b>0,
    因为直线l过点M(2,1),则+=1,则1= +≥2,故ab≥8,故S△AOB=ab≥×8=4,当且仅当==时取等号,此时a=4,b=2.故填4.

    点  拨:
    直线方程综合问题的两大类型及解法:①与函数相结合的问题,解决这类问题,一般是利用直线方程中的x,y的关系,将问题转化为关于x(或y)的函数,借助函数的性质解决;②与方程、不等式相结合的问题,一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决.
      
     (1)过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有 (  )
    A.3条 B.2条 C.1条 D.0条
    解:设直线l在x,y轴上的截距分别为a,b,且ab≠0,则l的方程为+=1,
    又点P(-2,2)在l上,所以+=1,
    即2a-2b=ab,①
    又直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,则-ab=8,②
    且a<0,b>0,③
    由①②③得a=-4,b=4,故符合条件的直线只有1条.故选C.
    (2)为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图),另外△EFA为文物保护区不能占用,经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应如何设计才能使草坪面积最大?

    解:如图所示,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

    则E(30,0),F(0,20),
    所以线段EF的方程为+=1(0≤x≤30).
    ①DF·AB=6 000,EB·BC=5 600.
    ②在线段EF上取点P(m,n),作PQ⊥BC于点Q,PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S,
    则S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
    又+=1(0≤m≤30),所以n=20-m.
    所以S=(100-m)(80-20+m)
    =-(m-5)2+(0≤m≤30).
    所以当m=5时,S有最大值,这时=5∶1.
    所以综合①②可知,当草坪矩形的两边在BC、CD上,一个顶点在线段EF上,且这个顶点分有向线段EF成5∶1时,草坪面积最大.


    1.直线的倾斜角和斜率的关系,可借助k=tanα的图象(如图)来解决.这里,α∈[0,π),k的范围是两个不连续的区间.这说明,每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率,故在求直线方程时,若不能确定直线的斜率是否存在,则应对斜率存在或不存在分类进行讨论.

    2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标,它不是距离,它可正、可负、可为0,在用截距式求直线方程时,不可忽视截距为0的情况.
    3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时,应用截距式方程比较简单.
    4.对于直线方程来说,要注意的是,除“一般式”外,每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的,具体可参看本节“考点梳理”栏目.在解决关于直线方程的问题中,要把握限制的条件,在求解时要细心处理,否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解;利用直线的截距式解题时,要注意防止忽视零截距而造成漏解;利用直线的一般式解题时,要注意防止忽视隐含条件A2+B2≠0而出现增解.


                          
    1.直线x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为
    (  )
    A.30° B.60° C.120° D.150°
    解:直线的斜率为k=tan α=,又因为0°≤α<180°,所以α=60°.故选B.
    2.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是 (  )
    A.1 B.-1
    C.-2或-1 D.-2或1
    解:由题意知a≠0,得a+2=,所以a=-2或a=1.故选D.
    3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 (  )
    A.[0,] B.[,π)
    C.[0,]∪(,π) D.[,)∪[,π)
    解:因为直线的斜率k=-,所以-1≤ k<0,则倾斜角的取值范围是[,π).故选B.
    4.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为 (  )
    A. B.- C.- D.
    解:依题意,设点P(a,1),Q(7,b),则有解得a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为=-.故选B.
    5.()在等腰三角形AOB中,AO=AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的方程为 (  )
    A.3x-y-8=0 B.3x+y-10=0
    C.3x-y=0 D.3x+y-6=0
    解:因为AO=AB,所以∠AOB=∠ABO,即kAB=-kOA=-3.所以直线AB的方程为y-3= -3(x-1),即3x+y-6=0.故选D.
    6.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是 (  )
    A.(-∞,-4]∪ B.
    C. D.
    解:如图所示,因为kPN==,

    kPM==-4.
    所以要使直线l与线段MN相交,
    当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN;
    当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,
    由已知得k≥或k≤-4.故选A.
    7.过点(,-2)的直线l经过圆x2+y2- 2y=0的圆心,则直线l倾斜角的大小为________.
    解:依题意可知圆心坐标为(0,1),则斜率k=tanα==-,所以倾斜角α=120°.故填120°.
    8.已知直线l过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为.
    解:①若a=3b=0,则直线过原点(0,0),此时直线斜率k=-,直线方程为x+2y=0.
    ②若a=3b≠0,设直线方程为+=1,即+=1.由于点P(2,-1)在直线上,所以b=-.
    从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.
    综上所述,所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.
    故填x+2y=0或x+3y+1=0.
    9.已知在第一象限的△ABC中,A(1,1),B(5,1),∠A=,∠B=.求:

    (1)AB边所在直线的方程;
    (2)AC和BC边所在直线的方程.
    解:(1)AB边所在直线的方程为y=1.
    (2)因为∠A=,AB∥x轴,
    所以直线AC的倾斜角为,斜率为,所以AC所在直线的方程为x-y+1-=0,
    因为∠B=,所以直线BC的倾斜角为,所以斜率为-1,所以BC所在直线的方程为x+y- 6=0.
    10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
    (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;
    (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
    解:(1)当直线过原点时,在x轴和y轴上的截距为零.
    所以a=2,方程即为3x+y=0.
    当直线不过原点时,a≠2,由截距存在且均不为0,
    所以=a-2,即a+1=1.
    所以a=0,方程即为x+y+2=0.
    因此直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
    (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
    所以所以a≤-1.
    综上可知a的取值范围是(-∞,-1].
    11.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
    (1)证明:直线l过定点;
    (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
    (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
    解:(1)证明:将直线l的方程变形得k(x+2)+(1-y)=0,
    令解得
    所以无论k取何值,直线l过定点(-2,1).
    (2)当直线l的倾斜角θ∈[0°,90°]时,直线l不经过第四象限,所以k≥0.
    (3)由l的方程,得A,B(0,1+2k).
    依题意得解得k>0.
    因为S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|
    =·=
    ≥×(2×2+4)=4,
    当且仅当4k=且k>0,即k=时等号成立,
    所以Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
    已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),其前n项和Sn=,则直线+=1与坐标轴所围成的三角形的面积为(  )
    A.36 B.45 C.50 D.55
    解:由an=可知an=-,
    所以Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,
    又知Sn=,所以1-=,所以n=9.
    所以直线方程为+=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),
    所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ×10×9=45.故选B.






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