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【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练
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第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练
【知识点睛】
v 四边形求面积类动态问题：
重点记忆矩形与平行线等积模型的结合，将矩形转化的直角三角形的面积转化为与之同底等高的普通三角形的面积
v 四边形线段和最值类动态问题：首先想将军饮马，条件不足以直接使用时，转化其中一条动态线段
v 四边形中求长度类动态问题：几何问题求长度，如果所求线段是倾斜的，立刻想化斜为直，通过做垂直将其转化为直角△斜边长，再利用勾股定理列方程求解
v 四边形动点问题常见转化：平行四边形→全等三角形；矩形→直角三角形/等腰三角形；
菱形→等腰三角形/等边三角形/直角三角形；正方形→等腰直角三角形
【类题训练】
1．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别以点B、P为圆心，以BP的长度为半径画圆，与正方形的边的交点即为所求的点Q，再作出BP的垂直平分线，与正方形的边的交点也符合点Q的要求．
【解答】解：如图所示，符合条件的Q点有5个，
故选：C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝6，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由三角形中位线定理可得EF＝AG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AG，过点A作AN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，
∴AN＝BN＝2，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF＝AG，
∴当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为2，
∴EF的最小值为，
故选：B．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于直线BP对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，点Q与点D的最近距离为 ．
【分析】由矩形的性质由勾股定理求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ＝PA，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，
∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴BD＝＝2，
∴点Q与点D的最近距离为DM＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
4．如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出点F3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，即可得出答案．
【解答】解：∵360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4＝505⋯⋯3．即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，
过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3．
由旋转得，△AOF≌△MF3O．
∵点B（1，0），
∴OB＝1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝1．
∴．
∵四边形ABEF是菱形，
∴．
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3＝OA＝1，．
∴点F3的坐标为．则点F2023的坐标为．
故选：B．
5．已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（ ）
A．（2，4）（3，4）
B．（2，4）（8，4）
C．（2，4）（3，4）（8，4）
D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，分别求得点P的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）；
若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故选：C．
6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可．
【解答】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3，
∴，
∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴＝+，
∴8×3＝5（PM+PN），
∴，
故选：C．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，即可判断①；②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，即可判断②；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④．
【解答】解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，
∴，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误；
④连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
故选：B．
8．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
9．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝，
故答案为：A．
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的最小值是 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝BO＝2，DP＝2OP，当OP⊥AC时，此时OP有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，设AB与DP交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴AO＝BO＝2，DP＝2OP，
∵△ABC是等边三角形，AO＝BO，
∴OC⊥AB，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝30°，
∴OC＝OB＝2，
当OP⊥AC时，此时OP有最小值，
∵S△AOC＝×AO×CO＝×AC×OP，
∴OP＝，
∴DP的最小值为2，
故答案为：2．
11．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
12．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．保持不变
C．一直变大 D．一直变小
【分析】连接DE，△CDE的面积时矩形ECFG面积的一半，也是正方形ABCD面积的一半，则矩形ECFG的面积和正方形ABCD的面积相等．
【解答】解：连接DE，
∵S△CDE＝S矩形ECFG，S△CDE＝S正方形ABCD，
∴S矩形ECFG＝S正方形ABCD，
∴矩形ECFG的面积保持不变，
故选：B．
13．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a﹣2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a﹣2c＝0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．10 B．2 C．2 D．8
【分析】过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM＝AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．
【解答】解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，
∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴×AB×AM＝×BA×AD，
∴AM＝AD，
∵AD＝6，
∴AM＝4，
∴AA'＝8，
∵AB＝10，
在Rt△ABA'中，A'B＝2，
故选：B．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为 3 秒．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，
根据题意得到12﹣3t＝t，
解得：t＝3，
故答案为：3．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】法一：分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
法二：连接DF，AF，EF，利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得△DFG是直角三角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解．
【解答】解：法一、如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，
∴四边形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM＝＝1，AM＝AE，
FN＝AC＝，AN＝AB＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，
∴PN＝1，FP＝，
设AE＝m，
∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，
∵AG＝GF，
∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，
解得m＝3，即AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故选：A．
法二、如图，连接DF，AF，EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠B＝45°，
∵FG＝AG，
∴FG＝DG＝EG，
∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，
∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，
∴∠DFA＝∠EFB，
在△AFD和△BFE中，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝BE＝2，
∴AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故选：A．
18．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．7或
【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI＝2DG﹣10，KH＝DG﹣3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，
（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或，
当DG＝9时，则CG＝1，KH＝6，KI＝8，
∴AJ＝4，AF＝1，
∴S1+S2＝3×1+4×1＝7；
当DG＝，则CG＝，KH＝，KI＝，
∴AJ＝，AF＝，
∴S1+S2＝×+3×＝，
故选：C．
19．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 ．
【分析】分两种情况讨论，由菱形的性质可得CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，由轴对称的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，当DC'⊥CD时，
∴∠CDC'＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝90°，DE＝CE，
∴DC＝CE＝2，
∴CE＝，
如图，当DC'⊥AD时，设DC'与BC交于点F，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵DF⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴DC＝CF＝2，
∴CF＝，
∴BF＝2﹣，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝22.5°，
∴∠DEB＝67.5°，
∵CD＝CB，∠C＝45°，
∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BF﹣EF＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，
综上所述：CE＝或2﹣2，
故答案为：或2﹣2．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（4，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为 ．
【分析】设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，3），B（4，0）代入y＝kx+b，列方程组并且解该方程组求出k、b的值，得到直线AB的解析式为y＝﹣x+，再求出当y＝1时的x值，即为平移的距离．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，3），B（4，0）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OE＝OC＝1，
∴E（0，1），
设正方形OCDE沿x轴向右平移，点E落在AB边上的点E′（m，n）处，
∵点E′与点E（0，1）的纵坐标相同，
∴E′（m，1），
把E′（x，1）代入y＝﹣x+，得1＝﹣m+，
解得m＝，
∴平移的距离是，
故答案为：．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 或1或或1+ ．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，
在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得．
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得
（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得，（舍去）．
④如图4中．当AF＝EF时，同法可得DF＝1+．
综上所述，DF的长为或1或或1+．
故答案为：或1或或1+．
22．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 4或2 ．
【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB＝AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．
【解答】解：①如图，当AB＝AD时
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B＝P3C），
则AB＝AD＝4．
②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
易知P2是AD的中点，
∵△P1BC是等腰三角形，
∴BP1＝BC，
同理：BC＝CP3，
只有△P2BC是等边三角形时，△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
∴BC＝BP1＝BP2＝CP2＝CP3
∴BP2＝＝，
又∵BP1＝BC，
∴＝4
∴AB＝2．
③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：4或2．
23．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连结DE，EF，FD．若△ABC的面积的为18cm2，则△DEF的面积是 4.5 cm2．
【分析】连接BE，根据三角形的面积公式求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．
【解答】解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18cm2，
∴△AEB的面积＝×△ABC的面积＝9（cm2），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积＝×△AEB的面积＝4.5（cm2），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm2），
故答案为：4.5．
25．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上．
（1）求D点的坐标；
（2）当△CDE的周长最小时，找出点E的位置并求点E的坐标和△CDE的周长最小值．
【分析】（1）根据点的坐标性质求出OA，根据题意求出OD，得到D点的坐标；
（2）根据轴对称﹣最短路径确定点E′的位置，利用待定系数法求出直线CD′的解析式，进而求出点E的坐标，根据勾股定理求出△CDE的周长最小值．
【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴D点的坐标为（﹣1，0）；
（2）作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时E′C+E′D最小，即△DCE′的周长最小，
由题意得，点D′的坐标为（﹣5，0），
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
当x＝﹣3时，y＝2，
∴E′（﹣3，2），
在Rt△CD′O中，CD′＝＝5，
在Rt△CDO中，CD＝＝，
∴△CDE的周长最小值为5+，
26．已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，只需求出BO的长即可．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．
27．如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝ 秒或5秒或2秒 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAC，再由角平分线定义和三角形外角的性质可解答；
（2）如图2，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答；
（3）分三种情况：①EF＝CF；②CE＝CF；②CE＝EF；分别列方程可解答．
【解答】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CF平分∠ACH，
∴∠ACF＝∠FCH，
∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，
∴∠FCH＝∠B，
∴BE∥CF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：
如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，
∴CF＝BE＝AE，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是矩形；
（3）解：分三种情况：
①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，
∴BE＝BC，即2t＝2，
t＝；
②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴BD＝2，
由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∵EG2＝EC2，即（2t）2＝62+（2t﹣2）2，
t＝5；
③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，
∴t＝2，
综上，t的值为秒或5秒或2秒；
故答案为：秒或5秒或2秒．
28．如图1，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD及CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD＝0.3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，
①如图2，当t为何值时，▱ADFC是菱形？请说明你的理由；
②如图3，▱ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质易证AC＝DF，∠ACB＝∠FDE＝60°，推出AC∥DF，即可得出结论；
（2）①根据△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，所以当t＝秒时，B与D重合、C与E重合，由等边三角形的性质即可得出四边形ADFC为菱形；
②若▱ADFC是矩形，则∠ADF＝90°，E与B重合，得出t＝1.3秒，由勾股定理求出AD的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，
∴AC＝DF＝1cm，∠ACB＝∠FDE＝60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）①当t＝0.3秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴当t＝（秒）时，B与D重合、C与E重合，
则AD＝AC＝DE＝DF＝FC，
∴平行四边形ADFC是菱形；
②▱ADFC有可能是矩形，
若▱ADFC是矩形，则∠ADF＝90°，
∴∠ADC＝90﹣60＝30°
同理∠DAB＝30°＝∠ADC，
∴BA＝BD，
同理EC＝EF，
∴E与B重合，
∴t＝（1+0.3）÷1＝1.3（秒），
此时，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，DF＝1cm，AF＝2cm，
∴AD＝＝＝（cm），
∴矩形ADFC的面积＝AD×DF＝×1＝（cm2）．
第10讲 特殊平行四边形中的动态问题专练
【知识点睛】
v 四边形求面积类动态问题：
重点记忆矩形与平行线等积模型的结合，将矩形转化的直角三角形的面积转化为与之同底等高的普通三角形的面积
v 四边形线段和最值类动态问题：首先想将军饮马，条件不足以直接使用时，转化其中一条动态线段
v 四边形中求长度类动态问题：几何问题求长度，如果所求线段是倾斜的，立刻想化斜为直，通过做垂直将其转化为直角△斜边长，再利用勾股定理列方程求解
v 四边形动点问题常见转化：平行四边形→全等三角形；矩形→直角三角形/等腰三角形；
菱形→等腰三角形/等边三角形/直角三角形；正方形→等腰直角三角形
【类题训练】
1．如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】分别以点B、P为圆心，以BP的长度为半径画圆，与正方形的边的交点即为所求的点Q，再作出BP的垂直平分线，与正方形的边的交点也符合点Q的要求．
【解答】解：如图所示，符合条件的Q点有5个，
故选：C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AB＝4，AD＝6，点H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由三角形中位线定理可得EF＝AG，当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AG，过点A作AN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，
∴AN＝BN＝2，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EF＝AG，
∴当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值，
∴当点G与点N重合时，AG的最小值为2，
∴EF的最小值为，
故选：B．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于直线BP对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，点Q与点D的最近距离为 ．
【分析】由矩形的性质由勾股定理求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵当点P从点A运动到点D时，PQ＝PA，
∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，
∵矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，
∴BD＝＝2，
∴点Q与点D的最近距离为DM＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
4．如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出点F3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，即可得出答案．
【解答】解：∵360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4＝505⋯⋯3．即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，
过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3．
由旋转得，△AOF≌△MF3O．
∵点B（1，0），
∴OB＝1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝1．
∴．
∵四边形ABEF是菱形，
∴．
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3＝OA＝1，．
∴点F3的坐标为．则点F2023的坐标为．
故选：B．
5．已知直角坐标系中，四边形OABC是长方形，点A，C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当△POD是腰长为5的等腰三角形时，则点P坐标为（ ）
A．（2，4）（3，4）
B．（2，4）（8，4）
C．（2，4）（3，4）（8，4）
D．（2，4）（2.5，4）（3，4）（8，4）
【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，分别求得点P的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝＝＝3，
则P的坐标是（3，4）；
若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝＝＝3，
当P在M的左边时，CP＝CM﹣PM＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝CM+PM＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故选：C．
6．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可．
【解答】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3，
∴，
∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴＝+，
∴8×3＝5（PM+PN），
∴，
故选：C．
7．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②④ D．①②③
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，即可判断①；②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，即可判断②；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④．
【解答】解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，
∴，
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误；
④连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
∵正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
故选：B．
8．如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）cm2
A．24 B．17 C．18 D．10
【分析】连接EF，证明四边形EBCF是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，
∵F是▱ABCD的边CD上的点，
∴BE∥CF，
∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE，
∵BQ＝FQ，
∴△EBQ≌△CFQ，
∴EQ＝CQ，
∴四边形EBCF是平行四边形，
∴，
∵S△AED＝S△AEF，
∴，
∴，
故选：C．
9．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA＝OD＝2.5，△AOD的面积，然后由S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝5，
∴OA＝OD＝2.5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝6，
∴S△AOD＝S△ACD＝3，
∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×2.5×PE+×2.5×PF＝（PE+PF）＝3，
解得：PE+PF＝，
故答案为：A．
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的最小值是 ．
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝BO＝2，DP＝2OP，当OP⊥AC时，此时OP有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，设AB与DP交于点O，连接OC，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴AO＝BO＝2，DP＝2OP，
∵△ABC是等边三角形，AO＝BO，
∴OC⊥AB，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝30°，
∴OC＝OB＝2，
当OP⊥AC时，此时OP有最小值，
∵S△AOC＝×AO×CO＝×AC×OP，
∴OP＝，
∴DP的最小值为2，
故答案为：2．
11．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况：这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点A与点B重合时是矩形．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
12．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形CFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小 B．保持不变
C．一直变大 D．一直变小
【分析】连接DE，△CDE的面积时矩形ECFG面积的一半，也是正方形ABCD面积的一半，则矩形ECFG的面积和正方形ABCD的面积相等．
【解答】解：连接DE，
∵S△CDE＝S矩形ECFG，S△CDE＝S正方形ABCD，
∴S矩形ECFG＝S正方形ABCD，
∴矩形ECFG的面积保持不变，
故选：B．
13．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（ ）
A．AD＝4AE B．AD＝2AB C．AB＝2AE D．AB＝3AE
【分析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，F为BC上一动点，x是变量，（a﹣2c）是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a﹣2c＝0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．
【解答】解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵F为BC上一动点，
∴x是变量，（a﹣2c）是x的系数，
∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，
∴x的系数为0，bc为固定值，
∴a﹣2c＝0，
∴a＝2c，
∴E是AB的中点，
∴AB＝2AE，
故选：C．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t＝，
故选：D．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．10 B．2 C．2 D．8
【分析】过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM＝AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．
【解答】解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，
∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴×AB×AM＝×BA×AD，
∴AM＝AD，
∵AD＝6，
∴AM＝4，
∴AA'＝8，
∵AB＝10，
在Rt△ABA'中，A'B＝2，
故选：B．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发，以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动，在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为 3 秒．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP＝BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP＝12﹣3t，BQ＝t，
根据题意得到12﹣3t＝t，
解得：t＝3，
故答案为：3．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】法一：分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
法二：连接DF，AF，EF，利用中位线定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得△DFG是直角三角形，然后再结合全等三角形的判定和性质求勾股定理求解．
【解答】解：法一、如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，
∴四边形GMNP是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM＝＝1，AM＝AE，
FN＝AC＝，AN＝AB＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，
∴PN＝1，FP＝，
设AE＝m，
∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，
∵AG＝GF，
∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，
解得m＝3，即AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故选：A．
法二、如图，连接DF，AF，EF，
在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点G是DE的中点，点F是BC的中点，
∴AG＝DG＝EG，AF＝BF，AF⊥BC，∠DAF＝45°，
∴∠DAF＝∠B＝45°，
∵FG＝AG，
∴FG＝DG＝EG，
∴△DFE是直角三角形，且∠DFE＝90°，
∵∠DFA+∠AFE＝∠BFE+∠AFE＝90°，
∴∠DFA＝∠EFB，
在△AFD和△BFE中，
∴△AFD≌△BFE（ASA），
∴AD＝BE＝2，
∴AE＝3，
在Rt△ADE中，DE＝＝．
故选：A．
18．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为（ ）
A．7 B． C．7或 D．7或
【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI＝2DG﹣10，KH＝DG﹣3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，
（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或，
当DG＝9时，则CG＝1，KH＝6，KI＝8，
∴AJ＝4，AF＝1，
∴S1+S2＝3×1+4×1＝7；
当DG＝，则CG＝，KH＝，KI＝，
∴AJ＝，AF＝，
∴S1+S2＝×+3×＝，
故选：C．
19．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝45°，点E在BC边上，点C′与点C关于直线DE对称，连接DC′，若DC′与菱形的一边垂直，则线段CE的长为 ．
【分析】分两种情况讨论，由菱形的性质可得CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，由轴对称的性质和等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，当DC'⊥CD时，
∴∠CDC'＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠C＝∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝90°，DE＝CE，
∴DC＝CE＝2，
∴CE＝，
如图，当DC'⊥AD时，设DC'与BC交于点F，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝45°，
∵DF⊥AD，
∴DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DCF＝∠CDF＝45°，
∴DF＝CF，
∴DC＝CF＝2，
∴CF＝，
∴BF＝2﹣，
∵点C'与点C关于直线DE对称，
∴∠CDE＝∠C'DE＝22.5°，
∴∠DEB＝67.5°，
∵CD＝CB，∠C＝45°，
∴∠DBC＝67.5°＝∠DEB，
∴DE＝DB，
∵DF⊥BC，
∴BF＝EF＝2﹣，
∴CE＝BC﹣BF﹣EF＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，
综上所述：CE＝或2﹣2，
故答案为：或2﹣2．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（4，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为 ．
【分析】设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，3），B（4，0）代入y＝kx+b，列方程组并且解该方程组求出k、b的值，得到直线AB的解析式为y＝﹣x+，再求出当y＝1时的x值，即为平移的距离．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，3），B（4，0）代入y＝kx+b，得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OE＝OC＝1，
∴E（0，1），
设正方形OCDE沿x轴向右平移，点E落在AB边上的点E′（m，n）处，
∵点E′与点E（0，1）的纵坐标相同，
∴E′（m，1），
把E′（x，1）代入y＝﹣x+，得1＝﹣m+，
解得m＝，
∴平移的距离是，
故答案为：．
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为 或1或或1+ ．
【分析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴OF＝OE，DF＝BE．
设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．
当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．
①如图（1），当AE＝AF时，
在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2，
解得．
②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE，
∴AF＝2BE，
∴3﹣a＝2a，
解得a＝1．
③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA．
又∠FAE＝∠AEB，
∴∠FEA＝∠AEB．
过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a，
∴FG＝3﹣2a．
在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得
（3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2，
解得，（舍去）．
④如图4中．当AF＝EF时，同法可得DF＝1+．
综上所述，DF的长为或1或或1+．
故答案为：或1或或1+．
22．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为 4或2 ．
【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB＝AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．
【解答】解：①如图，当AB＝AD时
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B＝P3C），
则AB＝AD＝4．
②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
易知P2是AD的中点，
∵△P1BC是等腰三角形，
∴BP1＝BC，
同理：BC＝CP3，
只有△P2BC是等边三角形时，△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
∴BC＝BP1＝BP2＝CP2＝CP3
∴BP2＝＝，
又∵BP1＝BC，
∴＝4
∴AB＝2．
③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：4或2．
23．如图，矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，点E为AB的中点，点F为EC上一个动点，点P为DF的中点，连接PB，当PB的最小值为3时，则AD的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为为BP1的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
且当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
.∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB：AD＝2：1，设AB＝2t，则AD＝t，
∵E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝t，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝t，
∴BP1＝t＝3，
∴t＝3．
故选：B．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是BC边上的一个动点，连结DE，EF，FD．若△ABC的面积的为18cm2，则△DEF的面积是 4.5 cm2．
【分析】连接BE，根据三角形的面积公式求出△AEB的面积，进而求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到△DEF的面积＝△DEB的面积，得出答案．
【解答】解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为18cm2，
∴△AEB的面积＝×△ABC的面积＝9（cm2），
∵点D是AB的中点，
∴△DEB的面积＝×△AEB的面积＝4.5（cm2），
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△DEF的面积＝△DEB的面积＝4.5（cm2），
故答案为：4.5．
25．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上．
（1）求D点的坐标；
（2）当△CDE的周长最小时，找出点E的位置并求点E的坐标和△CDE的周长最小值．
【分析】（1）根据点的坐标性质求出OA，根据题意求出OD，得到D点的坐标；
（2）根据轴对称﹣最短路径确定点E′的位置，利用待定系数法求出直线CD′的解析式，进而求出点E的坐标，根据勾股定理求出△CDE的周长最小值．
【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴D点的坐标为（﹣1，0）；
（2）作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时E′C+E′D最小，即△DCE′的周长最小，
由题意得，点D′的坐标为（﹣5，0），
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
当x＝﹣3时，y＝2，
∴E′（﹣3，2），
在Rt△CD′O中，CD′＝＝5，
在Rt△CDO中，CD＝＝，
∴△CDE的周长最小值为5+，
26．已知：如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，只需求出BO的长即可．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．
∵四边形ABCD是正方形，
PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．
在△PGB和△PHE中，
．
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）解：连接BD，如图2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°．
∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF．
∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE．
在△BOP和△PFE中，
∴△BOP≌△PFE（AAS），
∴BO＝PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴BC＝OB．
∵BC＝1，
∴OB＝，
∴PF＝OB＝．
∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．
27．如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝2，AB＝4，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒2个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
（3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值．答：t＝ 秒或5秒或2秒 ．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAC，再由角平分线定义和三角形外角的性质可解答；
（2）如图2，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可解答；
（3）分三种情况：①EF＝CF；②CE＝CF；②CE＝EF；分别列方程可解答．
【解答】（1）证明：如图1，∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
∵CF平分∠ACH，
∴∠ACF＝∠FCH，
∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH，
∴∠FCH＝∠B，
∴BE∥CF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形；
（2）解：四边形AECF是矩形，理由是：
如图2，∵E是AB的中点，AC＝BC，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知：四边形BCFE是平行四边形，
∴CF＝BE＝AE，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是矩形；
（3）解：分三种情况：
①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图3，
∴BE＝BC，即2t＝2，
t＝；
②以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图4，过C作CD⊥AB于D，
∵AC＝BC，AB＝4，
∴BD＝2，
由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∵EG2＝EC2，即（2t）2＝62+（2t﹣2）2，
t＝5；
③以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，如图5，CA＝AF＝BC，此时E与A重合，
∴t＝2，
综上，t的值为秒或5秒或2秒；
故答案为：秒或5秒或2秒．
28．如图1，已知△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD及CF．
（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；
（2）若BD＝0.3cm，△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动时间为t秒，
①如图2，当t为何值时，▱ADFC是菱形？请说明你的理由；
②如图3，▱ADFC有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质易证AC＝DF，∠ACB＝∠FDE＝60°，推出AC∥DF，即可得出结论；
（2）①根据△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，所以当t＝秒时，B与D重合、C与E重合，由等边三角形的性质即可得出四边形ADFC为菱形；
②若▱ADFC是矩形，则∠ADF＝90°，E与B重合，得出t＝1.3秒，由勾股定理求出AD的长，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长都为1cm的等边三角形，
∴AC＝DF＝1cm，∠ACB＝∠FDE＝60°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC是平行四边形；
（2）①当t＝0.3秒时，平行四边形ADFC是菱形，理由如下：
∵△ABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，
∴当t＝（秒）时，B与D重合、C与E重合，
则AD＝AC＝DE＝DF＝FC，
∴平行四边形ADFC是菱形；
②▱ADFC有可能是矩形，
若▱ADFC是矩形，则∠ADF＝90°，
∴∠ADC＝90﹣60＝30°
同理∠DAB＝30°＝∠ADC，
∴BA＝BD，
同理EC＝EF，
∴E与B重合，
∴t＝（1+0.3）÷1＝1.3（秒），
此时，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，DF＝1cm，AF＝2cm，
∴AD＝＝＝（cm），
∴矩形ADFC的面积＝AD×DF＝×1＝（cm2）．
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