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数学八年级上册2.7 探索勾股定理课后复习题
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这是一份数学八年级上册2.7 探索勾股定理课后复习题，共13页。试卷主要包含了如图，字母A所在的正方形面积是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15B．C．9D．
2．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）
A．80cmB．30cmC．90cmD．120cm
3．△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．14B．4C．14或4D．以上都不对
4．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（ ）
A．17B．20C．25D．31
5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2
6．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）cm2．
A．14B．10C．48D．20
7．如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S12+S22＝S32
C．S1+S2＞S3D．S1+S2＜S3
8．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cmB．cmC．cmD．9cm
9．如图，字母A所在的正方形面积是（ ）
A．224B．338C．144D．313
10．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13B．8C．25D．64
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．若BD＝2，则点D到AC的距离是 ．
12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ．
13．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为 ．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 ．
16．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
17．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为 cm2．
18．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若c＝10，a：b＝3：4，则a＝ ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）求CD的长．
20．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．
求证：a2+b2＝c2
证明：连接
∵S五边形ACBED＝
又∵S五边形ACBED＝
∴
∴a2+b2＝c2．
22．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．
23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，
∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∵S△ADC＝•AD•CD＝•AC•DE，
∴×15×8＝×17•DE，
解得DE＝
故选：D．
2．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
∵a2+b2+c2＝1800，
∴2c2＝1800，即c2＝900，
则c＝30cm．
故选：B．
3．解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC＝BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝7+24＝31．
故选：D．
5．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
6．解：由勾股定理得：＝10（cm），
∴阴影部分的面积＝10×2＝20（cm2）；
故选：D．
7．解：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，
S1＝×π×（）2＝，
S2＝×π×（）2＝，
S3＝×π×（）2＝．
由勾股定理可得：
d12+d22＝d32，
∴S1+S2＝（d12+d22）＝＝S3，
所以S1、S2、S3的关系是：S1+S2＝S3．
故选：A．
8．解：如图：
设AC＝5cm，BC＝12cm，根据勾股定理，AB＝＝13cm，
根据三角形面积公式：×5×12＝×13×CD，CD＝cm．
故选：C．
9．解：在Rt△EFG中，根据勾股定理得：EF2+EG2＝FG2，
由题意得：EF2＝25，FG2＝169，
∴EG2＝FG2﹣EF2＝169﹣25＝144，
则字母A所在正方形的面积为144．
故选：C．
10．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2＝102，
解得：x＝8．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DB＝2，
即点D到AC的距离是2，
故答案为：2．
12．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股DE＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
13．解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
14．解：连接AE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，
∵AC＝9，BC＝12，
∴CE＝12﹣x，
∵∠ACE＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，
即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
故答案为：．
15．解：由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×4＝2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝16，
∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
16．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
17．解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边＝＝5cm，
∴面积＝×5×12＝30cm2．
18．解：设a＝3x，则b＝4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，
解得，x＝2，
则a＝3x＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
解得AB＝25．
答：AB的长是25；
（2）AC•BC＝×20×15＝150．
答：△ABC的面积是150；
（3）∵CD是边AB上的高，
∴AC•BC＝AB•CD，
解得：CD＝12．
答：CD的长是12．
20．解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴BD＝CD＝5cm，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD＝＝12（cm），
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60（cm2）．
21．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
22．解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，
即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，
解得：x＝3．
即线段CN长为3．
23．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，
则可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，
∴BK＝BD+DK＝40千米，
∴AM+BM＝A′B＝＝50千米，
总费用为50×3＝150万元．
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在三角形ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，点D为BC的中点，则点D到AC的距离为（ ）
A．15B．C．9D．
2．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（ ）
A．80cmB．30cmC．90cmD．120cm
3．△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（ ）
A．14B．4C．14或4D．以上都不对
4．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（ ）
A．17B．20C．25D．31
5．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（ ）
A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2
6．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）cm2．
A．14B．10C．48D．20
7．如图所示，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3的关系是（ ）
A．S1+S2＝S3B．S12+S22＝S32
C．S1+S2＞S3D．S1+S2＜S3
8．直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）
A．13cmB．cmC．cmD．9cm
9．如图，字母A所在的正方形面积是（ ）
A．224B．338C．144D．313
10．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）
A．13B．8C．25D．64
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．若BD＝2，则点D到AC的距离是 ．
12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ．
13．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 ．
14．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，则BE的长为 ．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 ．
16．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为 ．
17．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为 cm2．
18．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若c＝10，a：b＝3：4，则a＝ ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．
（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）求CD的长．
20．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，求△ABC的面积．
21．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．
求证：a2+b2＝c2
证明：连接
∵S五边形ACBED＝
又∵S五边形ACBED＝
∴
∴a2+b2＝c2．
22．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．
23．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，DE的长即为所求，
∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝16，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝15，
∵S△ADC＝•AD•CD＝•AC•DE，
∴×15×8＝×17•DE，
解得DE＝
故选：D．
2．解：设直角三角形的两直角边分别为acm，bcm，斜边为ccm，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
∵a2+b2+c2＝1800，
∴2c2＝1800，即c2＝900，
则c＝30cm．
故选：B．
3．解：（1）如图，锐角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ABD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC＝BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝13，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝132﹣122＝25，
则BD＝5，
在Rt△ACD中AC＝15，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝152﹣122＝81，
则CD＝9，
故BC的长为DC﹣BD＝9﹣5＝4．
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝7+24＝31．
故选：D．
5．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
6．解：由勾股定理得：＝10（cm），
∴阴影部分的面积＝10×2＝20（cm2）；
故选：D．
7．解：设三个半圆的直径分别为：d1、d2、d3，
S1＝×π×（）2＝，
S2＝×π×（）2＝，
S3＝×π×（）2＝．
由勾股定理可得：
d12+d22＝d32，
∴S1+S2＝（d12+d22）＝＝S3，
所以S1、S2、S3的关系是：S1+S2＝S3．
故选：A．
8．解：如图：
设AC＝5cm，BC＝12cm，根据勾股定理，AB＝＝13cm，
根据三角形面积公式：×5×12＝×13×CD，CD＝cm．
故选：C．
9．解：在Rt△EFG中，根据勾股定理得：EF2+EG2＝FG2，
由题意得：EF2＝25，FG2＝169，
∴EG2＝FG2﹣EF2＝169﹣25＝144，
则字母A所在正方形的面积为144．
故选：C．
10．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2＝102，
解得：x＝8．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
11．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵DB⊥AB，DE⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DB＝2，
即点D到AC的距离是2，
故答案为：2．
12．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股DE＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
13．解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，于是S3＝S1+S2，
即S3＝2+5+1+2＝10．
故答案是：10．
14．解：连接AE，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，
∵AC＝9，BC＝12，
∴CE＝12﹣x，
∵∠ACE＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，
即92+（12﹣x）2＝x2，
解得x＝，
故答案为：．
15．解：由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×4＝2，
∴4×ab+（a﹣b）2＝16，
∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，
∴a﹣b＝2．
故答案为：2．
16．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
17．解：∵直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，
∴另一直角边＝＝5cm，
∴面积＝×5×12＝30cm2．
18．解：设a＝3x，则b＝4x，
由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝102，
解得，x＝2，
则a＝3x＝6，
故答案为：6．
三．解答题（共5小题，满分40分）
19．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
解得AB＝25．
答：AB的长是25；
（2）AC•BC＝×20×15＝150．
答：△ABC的面积是150；
（3）∵CD是边AB上的高，
∴AC•BC＝AB•CD，
解得：CD＝12．
答：CD的长是12．
20．解：过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∵AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，
∴BD＝CD＝5cm，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD＝＝12（cm），
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝×10×12＝60（cm2）．
21．证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
22．解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，
即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，
解得：x＝3．
即线段CN长为3．
23．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，
则可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，
∴BK＝BD+DK＝40千米，
∴AM+BM＝A′B＝＝50千米，
总费用为50×3＝150万元．
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