初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理优秀课后练习题

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 专题2.7探索勾股定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021秋•苏州期中）D是△ABC中BC边上的一点，若AC2﹣CD2＝AD2，则AD是（　　）
A．BC边上的中线 B．∠BAC的角平分线
C．BC边上的高线 D．AC边上的高线
【分析】根据题意画出图形，再根据已知条件判断出△ACD的形状，再根据高线的定义解答即可．
【解析】如图所示：
∵AC2﹣CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
则AD是BC边上的高线，
故选：C．

2．（2020春•沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　）

A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
3．（2020春•汉阳区校级期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BP⋅PC的值是（　　）
A．15 B．25 C．30 D．20
【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD＝CD，由勾股定理可得PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，然后由AP2+PB•PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD），即可求得答案．
【解析】过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，∠ADP＝∠ADB＝90°，
∴BD＝CD，PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，
∴AP2+PB•PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）＝AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）＝AP2+BD2﹣PD2＝AP2﹣PD2+BD2＝AD2+BD2＝AB2＝25．
故选：B．

4．（2020春•云梦县期中）如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝36，S2＝64，则S3＝（　　）

A．8 B．10 C．80 D．100
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．
【解析】∵在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∴S3＝S1+S2＝36+64＝100．
故选：D．
5．（2020春•东西湖区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解析】由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
12π×（AC2）2+12π×（BC2）2=18π×（AC2+BC2）＝2π，
解得，AC2+BC2＝16，
则AB2＝AC2+BC2＝16，
解得，AB＝4，
故选：C．
6．（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（　　）

A．10米 B．6米 C．7米 D．8米
【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．
【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，
∵AO＝8米，
∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：
62+（x+2）2＝82+x2，
解得：x＝6，
AB=82+62=10（米），
故选：A．
7．（2020春•江岸区期中）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺．

A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【解析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），
答：芦苇长13尺．
故选：C．
8．（2021春•九龙坡区校级期中）如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（　　）

A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】如图所示：
由于圆柱体的底面周长为10cm，
则AD＝10×12=5（cm）．
又因为CD＝AB＝12cm，
所以AC=122+52=13（cm）．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
故选：B．

9．（2021秋•泰兴市期中）a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（　　）
A．a2＝c2﹣b2
B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a＝3，b＝4，c＝5
D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
【解析】A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；
D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．
故选：B．
10．（2021春•潍城区期中）在水平地面上有一棵高9米的大树，和一棵高4米的小树，两树之间的水平距离是12米，一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行（　　）

A．12米 B．13米 C．9米 D．17米
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解析】如图，设大树高为AB＝9m，
小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝4m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝9﹣4＝5m，
在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=52+122=13（m）．
故小鸟至少飞行13m，
故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•连云港期中）△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为　2400　cm．
【分析】首先根据三边之比设出未知数，然后可确定各边长，再计算出周长即可．
【解析】设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，
∵最长边为10m，
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴3x＝6，4x＝8，
∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，
故答案为：2400．
12．（2021秋•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　36　．

【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【解析】连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AC•CD=12×3×4+12×5×12＝36．
故答案为：36．

13．（2020春•西城区校级期中）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则CD＝　2.4　．

【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
∴AB=42+32=5，
∴CD=3×45=2.4．
故答案为：2.4．
14．（2020春•南岗区校级期中）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边上的高是　245　．
【分析】设另一条直角边为a，则斜边为（a+2），再根据勾股定理求出a的值；然后利用等面积法求得斜边上的高线的长度．
【解析】设斜边上的高为h，另一条直角边为a，则斜边为（a+2）．
∵另一直角边长为6，
∴（a+2）2＝a2+62，解得a＝8，
∴a+2＝8+2＝10．
∴12×10h=12×6×8．
解得h=245．
故答案是：245．
15．（2021秋•宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为　485　．

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出12AB•AC=12BC•AD，即可求出AD．
【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，
∴AB=BC2−AC2=12，
∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AD，
∴12×12×16=12×20AD，
∴AD=485．
故答案为：485．
16．（2020春•明水县校级期中）如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚3m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚　7m　．

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出梯子顶端离墙角的距离．
【解析】由题意可得：梯子顶端离墙角有42−32=7（m）．
故答案为：7m．
17．（2020春•西城区校级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子三尺远，则原处还有　9120　尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈＝10尺）．

【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x=9120．
故答案为：9120．
18．（2021春•天津期中）如图，要从电线杆离地面12m处向地面拉一条钢缆，要求地面钢缆固定点A与电线杆底部B的距离是5m，则钢缆的长度为（不计接头）　13米　．

【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=52+122=13，
答：钢缆的长度为13米，
故答案为：13米．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020春•云梦县期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB＝80km，AD＝50km，BC＝30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？

【分析】可以设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE2，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE2，根据DE＝CE可以求得x的值，即可求得AE的值．
【解析】设AE＝xkm，则BE＝（80﹣x）km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴△ADE和△BCE都是直角三角形，
∴DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
又∵AD＝50，BC＝30，DE＝CE，
∴502+x2＝（80﹣x）2+302，
解得x＝30．
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方．
20．（2020春•庆云县期中）计算：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c
（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．
【分析】（1）直接利用勾股定理进行解答即可；
（2）直接利用勾股定理进行解答即可；
（3）分5cm是直角边和斜边两种情况讨论求解．
【解析】（1）利用勾股定理，得c=a2+b2=82+152=17，即c＝17；

（2）利用勾股定理，得c=a2+b2=32+42=5，即c＝5；

（3）5cm是直角边时，第三边=32+52=34cm，
5cm是斜边时，第三边=52−32=4cm，
所以，第三边长为34或4．
21．（2020春•硚口区期中）如图，一根直立于水中的芦苇BD高出水面AC1米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝3米，求芦苇BD的长度为多少米？

【分析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，利用勾股定理列出方程，再解即可．
【解析】设芦苇BD的长度为x米，则水深（x﹣1）米，由题意得：
x2﹣32＝（x﹣1）2，
解得：x＝5，
答：芦苇BD的长度为5米．
22．（2020春•涿鹿县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；
（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
【解析】（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；

（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=12×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2880（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．

23．（2021秋•邳州市期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．

【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．
【解析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，
∵AD⊥BC于点D，
∴△ADC和△ADB是直角三角形，
∵CD＝16，
∴x2+162＝（32﹣x）2，
解得：x＝12，
∴AD＝12，
在直角三角形ABD中，AB=52+122=13．
24．（2020春•海安市期中）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．
【分析】根据m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形，本题得以解决．
【解析】以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，
理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，
∴c＞a，
∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，
c2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．