初中数学1.3.1 有理数的加法精品课后作业题

有理数的加法

定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．

法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；

（3）一个数同0相加，仍得这个数．

注意：利用法则进行加法运算的步骤：

(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．

(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．

(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．

题型1：有理数的加法的辨析

1.下列说法正确的是（   ）

A.两个有理数的和一定大于任何一个加数

B.若两个有理数的和为正数，则这两个有理数都是正数

C.若两个有理数的和为零，则这两个有理数一定互为相反数

D.异号两个有理数相加，和有可能是正数也有可能是负数

【解答】A.不正确，例如，（-3）+1=-2，（-3）＋（-1）=-4，（-3）＋0=-3，它们的和都不是大于两个加数.

B.不正确，例如，（-2）+3=1，0+2=2，它们的和是正数，但两个加数不都是正数.

C.正确.

D.不正确，异号两个数相加的和还有可能为0.

答案C

【变式1-1】如果a、b异号，且a+b＜0，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞0，b＞0 

B．a＜0，b＜0 

C．a，b异号，且正数的绝对值较大 

D．a，b异号，且负数的绝对值较大

【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条件可选出答案．

【解答】解：∵a+b＜0，

∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，

∵a，b异号，

∴a、b异号，且负数的绝对值较大．

故选：D．

【点评】此题主要考查了有理数的乘法和加法，解题的关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号．

【变式1-2】对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（　　）

①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；

②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；

③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项正确；

④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项错误；

⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确．

【解答】解：①若a+b＝0，则a＝﹣b，即a与b互为相反数，本选项正确；

②若a+b＜0，若a＝﹣1，b＝﹣2，a+b＝﹣3＜0，但是a与b同号，本选项错误；

③a+b＞0，若a与b同号，只有同时为正，故a＞0，b＞0，本选项正确；

④若|a|＞|b|，且a，b同号，例如a＝﹣3，b＝﹣2，满足条件，但是a+b＝﹣5＜0，本选项错误．

⑤由|a|＜b，所以b＞0，所以a+b＞0，本选项正确；

则正确的结论有3个．

故选：A．

题型2：有理数加法的计算

2.计算：

（1）（－17）+7

（2）（－14）－（－39）

【答案】（1）解：（-17）+7；

=-（17-7）

=-10；

（2）解：（-14）-（-39）

=-14+39

=25．

【解析】【分析】（1）利用有理数的加法的计算方法求解即可；

（2）利用有理数的减法的计算方法求解即可。

【变式2-1】计算：

【答案】解：

=

=

=

【解析】【分析】利用有理数的加减法则计算求解即可。

【变式2-2】  

（1）（+ ）+（﹣ ） 

（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）

（3）﹣20﹣（+14）+（﹣18）﹣（﹣13）

（4）|﹣45|+（﹣71）+|﹣5|+（﹣9）

【答案】（1）解：原式= = ；

（2）解：原式=-10.5-1.3 =-11.8；

（3）解：原式=-20-14-18+13 =-39；

（4）解：原式=45-71+5-9 =-30

【解析】【分析】利用有理数的运算法则进行计算即可得出结论。

运算律：

注意：交换加数的位置时，不要忘记符号．

题型3：有理数的加法运算律

3.（相反数结合）

【分析】先找相反数，然后利用加法的交换律和结合律将相反数结合计算.

【解答】解：原式

【变式3-1】（同号结合） 计算∶43+（-77）+37+（-23）.

【分析】先把正数、负数分别结合，再计算.

【解答】解∶原式=（43+37）+[（-77）＋（-23）]

=80+(-100)=-20.

【变式3-2】（同形结合）计算

【分析】观察将同分母的分数通过交换结合在一起计算.

【解答】解：原式

【变式3-3】（凑整结合）

【解答】解：原式

【变式3-4】（拆项结合）计算：

【分析】先把带分数拆成整数与真分数之和，将整数和真分数分别相加，再求和.

【解答】解：（1）原式

（2）原式

知识总结：

相反数结合法：如果加数中有互为相反数的两个数，可以先将这两个数结合再进行运算；

同号结合法：在有理数的加法运算先将所有的正数结合在中，一起、所有的负数结合在一起，分别相加，再求和的计算方法；

同形结合法：在计算过程中往往把整数与整数、小数与小数、分数与分数、分母相同或容易通分的分数结合在一起，以达到简便运算的效果；

凑整法：多个有理数相加时，如果既有分数，又有小数，一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式，把能凑成整数的数结合在一起，可以使计算简便；

拆项结合法：在有理数的加法计算中，可以先把带分数拆分成整数和真分数的和，再把整数和真分数分别结合相加，但拆数时应特别注意符号问题.这种方法简称“拆项结合法”；一个带分数在拆成一个整数和一个真分数时，有两种拆分法，一种拆成同号，一种拆成异号.

题型4：有理数加法分类思想

4.已知 ， ， ，求 的值  

【答案】∵

∴

∵ ，

∴

∴

∴ .

【解析】【分析】根据绝对值和有理数的乘法法则求出 的值，再代入求解即可.

【变式4-1】如果 ，且 ，求 的值. 

【答案】解：因为 ，所以 ，因为 ，所以 ；当 时， ；当 时， ；故 或13. 

【解析】【分析】利用绝对值的性质可求出a，b的值，再根据a＜b，可确定出a，b的值，然后分别求出a+b的值.

【变式4-2】已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a+b+c的值．

【分析】根据绝对值的性质，求出a、b、c的大致取值，然后根据a、b、c的大小关系，进一步确定a、b、c的值，然后代值求解即可．

【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，

∴a＝±1，b＝±2，c＝±3，

∵a＞b＞c，

∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3或a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，

∴a+b+c＝﹣6，

或a+b+c＝1﹣2﹣3＝1﹣5＝﹣4．

故答案为：﹣6或﹣4．

【点评】此题主要考查的是绝对值的性质和有理数的加法，能够正确的判断出a、b、c的值，是解答此题的关键．

题型5：有理数加法规律题

5.从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值，计算a+b-c的值是　     　.

【答案】14

【解析】【解答】解：a=（-4）+11=7，

c=11+（-15）=-4，

b=a+c=7+（-4）=3，

∴a+b-c=7+3-（-4）=14.

【分析】找出图①的规律，列式计算出a，b，c的值，再计算a+b-c的值，即可得出答案.

【变式5-1】已知1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，按此规律，1+3+5+…+19=   

【分析】由该一连串的等式可以看出从1开始n个连续的奇数的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19=102，即从1开始10个连续的奇数相加．

【解答】解：由1+3=22，从1开始连续2个奇数相加；

1+3+5=32，从1开始连续3个奇数相加；

1+3+5+7=42，从1开始连续4个奇数相加；

…

所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19=102=100．

故答案为：100．

【点评】本题是规律型的，从1开始连续2个奇数和等于22，连续3个的和为32，连续4个为42，可以得出连续n个的和为n2的规律．

题型6：有理数加法的应用

6.10袋大米，以每袋50千克为准：超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：＋0.5，＋0.3，0，－0.2，－0.3，＋1.1，－0.7，－0.2，＋0.6，＋0.7.10袋大米共超重或不足多少千克？总重量是多少千克？  

【答案】解：本题考查了有理数的运算在实际中的应用，“正”和“负”相对，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，把称重记录的数据相加，和为正说明超过了，和为负说明不足；求10袋大米的总重量，可以用10×50加上正负数的和即可. 

（+0.5）+（+0.3）+0+（-0.2）+（-0.3）+（+1.1）+（-0.7）+（-0.2）+（+0.6）+（+0.7）

=1.8（千克），

50×10+1.8=501.8（千克）.

【解析】【分析】由题意，先求出记录的各数据的和（即为超过（或不足）质量），根据总质量=标准质量×抽取的袋数+超过（或不足）质量即可求解.

【变式6-1】将0，1，2，3，4，5，6这7个数分别填入图中的7个空格内，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数相加的和都等于6.

【答案】解：根据分析可得 

【解析】【分析】根据幻和是6，可得中心数是：6÷3=2；那么对角线、第二行、第二列剩下两个数的和就为：6-2=4；所以只要凑成：-1+5=1+3=6+（-2）=4，然后稍微调整一下即可得出答案．

【变式6-2】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作+1，向下一楼记作﹣1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：+6，﹣3，+10，﹣8，+12，﹣7，﹣10．

（1）请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼．

（2）该中心大楼每层高3m，电梯每向上或下1m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？

【分析】（1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能；

（2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以0.2即可得解．

【解答】解：（1）（+6）+（﹣3）+（+10）+（﹣8）+（+12）+（﹣7）+（﹣10），

＝6﹣3+10﹣8+12﹣7﹣10，

＝28﹣28，

＝0，

∴王先生最后能回到出发点1楼；

（2）王先生走过的路程是3×（|+6|+|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+12|+|﹣7|+|﹣10|），

＝3×（6+3+10+8+12+7+10），

＝3×56，

＝168（m），

∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6（度）．

【点评】本题主要考查了有理数的加法运算，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．