2021学年1.3.2 有理数的减法精品练习题

有理数的减法

定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．

注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算．

   （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．

法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．

注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：

题型1：有理数减法法则的辨析

1.下列四种说法：①减去一个数，等于加上这个数的相反数；②两个互为相反数的数和为0；③两数相减，差一定小于被减数；④如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的和或差等于零．其中正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】①③根据有理数的减法法则判断即可；②根据相反数的定义判断即可；④根据绝对值的定义以及有理数的加减法法则判断即可．

【解答】解：①减去一个数，等于加上这个数的相反数，说法正确；

②两个互为相反数的数和为0，说法正确；

③两数相减，差一定小于被减数，说法错误，如1﹣（﹣2）＝1+2＝3，3＞1；

④如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，所以这两个数的和或差等于零，故④说法正确．

所以正确的说法有①②④．

故选：C．

【点评】本题考查了有理数的减法、有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键．

【变式1-1】说法正确的是（　　）

A．0减任何数的差都是负数 

B．减去一个正数，差一定大于被减数 

C．减去一个正数，差一定小于被减数 

D．两个数之差一定小于被减数

【分析】可通过举反例说明不正确的，通过分类讨论说明正确的．

【解答】解：0减去负数的差就是正数，正数大于被减数0，故A、D都是不正确的；

负数减去正数，差一定小于被减数，故选项B不正确；

减去一个正数，差一定小于被减数，此选项正确．

故选：C．

【点评】本题考查了有理数的减法．说明选项不正确，只要举出一个反例就可以．

题型2：有理数的减法计算

2.（1）（－14）－（－39）  （2）(-14)-(+15)

解：（1）（-14）-（-39）

=-14+39

=25．

（2）解：(-14)-(+15) 

=-14-15

=-(14+15)   (符号后面添括号，括号里面的数要变号)

=-29

【变式2-1】计算：（1）．（2）﹣6﹣（﹣4）﹣3+（﹣5）

【答案】（1）解：

（2）解：﹣6﹣（﹣4）﹣3+（﹣5）

【变式2-2】计算： .

【答案】解：

.

【解析】【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，再利用加法的交换律和结合律将同分母的分数相加，再根据异号两数相加的加法法则计算即可求解.

题型3：省略式中的加号和括号

3.把(-5)-(+3)-(-7)+(-2)写成省略加号和括号的形式，正确的是(　　) 

A．-5+3-7-2 B．5-3-7-2 C．5-3+7-2 D．-5-3+7-2

【答案】D

【解析】【解答】解：原式=-5-3+7-2.

故答案为：D.
【分析】根据有理数的加减混合运算，去括号得到结果即可。

【变式3-1】将﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）写成省略加号和括号的和的形式，正确的是（　　） 

A．﹣3+6﹣5﹣2 B．﹣3﹣6+5+2

C．﹣3﹣6﹣5﹣2 D．﹣3﹣6+5﹣2

【答案】B

【解析】【解答】解：﹣3﹣（+6）﹣（﹣5）+（+2）

=﹣3﹣6+5+2，

故答案为：B．

【分析】直接利用去括号法则即得结论.

【变式3-2】不改变原式的值，将式子 改写成省略加号和括号的形式是　        　.  

【答案】5-3+7-8

【解析】【解答】解：

=5-3+7-8。

故答案为：5-3+7-8。

【分析】根据去括号法则，一一去括号即可得出答案。

题型4：有理数的加减法混合运算

4.计算：（1）﹣8﹣（﹣15）＋（﹣12）﹣11 （2）（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）．

【答案】（1）解：-8-（-15）+（-12）-11

=-8+（-12）-（-15）-11

=-8+（-12）+15-11

=-20+4

=-（20-4）

=-16.

（2）解：（﹣12）﹣5＋（﹣14）﹣（﹣39）

=﹣12﹣5﹣14+39

=﹣31+39

=8．

【变式4-1】（1）（+1.6）－（－4.2）－（+2.1）－5.7   （2） ． 

【答案】(2)解：（+1.6）－（-4.2）－（+2.1）－5.7 

=1.6+4.2－2.1－5.7

=-2

【答案】(1)解：原式

【解析】【分析】根据有理数的加法法则及有理数的减法法则进行计算即可求解。

【变式4-2】（1）（﹣0.125）+0.175﹣0.05（2）

【答案】（1）解：（-0.125）+0.175-0.05

=0.175-（0.125+0.05）

=0.175-0.175

=0.

（2）解：原式

【解析】【分析】利用加法的交换律和结合律，将符号相同的两个加数结合在一起相加，然后根据有理数的加减法法则进行计算.

题型5：应用运算律进行简便运算

5.计算

（1）

（2）

（3）

【答案】

（1）解：原式

（2）解：原式

（3）解：原式

【变式5-1】（1）计算：178﹣87.21+43 +53 ﹣12.79． 

（2）计算：1 ﹣5+（﹣ ）﹣ +（﹣5 ）． 

【答案】（1）解：178﹣87.21+43 +53 ﹣12.79 

（2）解：1 ﹣5+（﹣ ）﹣ +（﹣5 ） 

【解析】【分析】（1）利用加法运算律和加法计算法则求解即可；
（2）利用加法的交换律和加法的结合律求解即可。

题型6：有理数的应用-数轴

6.如图， 、 是数轴上的两个数，则 一定是（　　） 

A．负数 B．0 C．整数 D．正数

【答案】D

【解析】【解答】解：由数轴得：b＞0，a＜0，且|a|＞|b|，

∴b-a＞0，

故选：D．

【分析】由数轴得b＞0，a＜0，且|a|＞|b，根据有理数的减法法则确定b-a的符号即可.

【变式6-1】已知 ， ， ，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c的值 

【答案】 解：由题意得：a=4, b=-2, c=-5,
则 a+b+c =4+（-2）+（-5）
=4+(-7)
=-3.

【解析】【分析】根据a、b、c在数轴上的位置分别确定a、b、c的所表示的数，然后再进行有理数的加减运算即可.

【变式6-2】有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|．

【分析】根据数轴对应点的位置确定每一个绝对值里面式子的取值情况，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”解答即可．

【解答】解：∵a＜b＜-1＜0＜c＜1，
∴a-b＜0，b+c＜0，a-c＜0，c-b＞0，
∴-|a-b|+|b+c|-|a-c|+|c-b|
=-（b-a）-b-c-（c-a）+c-b
=-b+a-b-c-c+a+c-b
=2a-3b-c．

【点评】本题考查绝对值的性质，有理数的加减法法则，去括号法则及整式的运算，熟练掌握有理数的加减法则是关键．

题型7：有理数的应用-绝对值

7.在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，且|a|=6，|b|=3，则a－b的值为(　　)  

A．－3 B．－9 C．－3或－9 D．3或9

【答案】D

【解析】【解答】∵|a|=6，|b|=3，∴a=±6，b=±3，∵在数轴上，a所表示的点总在b所表示的点的右边，∴a=6，当a=6，b=3时，a﹣b=6﹣3=3，当a=6，b=﹣3时，a﹣b=6﹣（﹣3）=6+3=9，所以，a﹣b的值为3或9．

故答案为：D．

【分析】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，数轴的知识，判断出a=6是解题的关键．

【变式7-1】若 ， ，且 ，求a-b的值．  

【答案】解： ， ，  

， ；

，

异号．

当 ， 时， ；

当 ， 时， ．

故a-b的值为8或-8．

【解析】【分析】根据绝对值的性质，结合a和b的乘积，求出a-b的值即可。

【变式7-2】若 ， ， ，b>a>c， 求 的值. 

【答案】解：由|a|=5，|b|=2，|c|=7，知a=±5，b=±2，c=±7，

又因为b>a>c，故b=±2，a=-5，c=−7，则

①当b=2时，a+b−c=-5+2−（−7）=4；

②当b=-2时，a+b−c=-5+（−2）−（−7）=0.

【解析】【分析】由绝对值的性质可得a=±5，b=±2，c=±7，根据b>a>c确定出a、b、c的值，然后代入a+b-c中进行计算.

【变式7-3】若有理数x、y满足|x|=7，|y|=4，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．

【答案】解：∵|x|=7，

∴x=±7，

∵|y|=4，

∴y=±4，

又∵|x+y|=x+y，

∴x+y≥0，

∴x=7，y=±4，

当x=7，y=4时，x﹣y=7﹣4=3，

当x=7，y=﹣4时，x﹣y=7﹣（﹣4）=11．

【解析】【分析】根据绝对值的性质求出x、y，再判断出x、y的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．

题型8：有理数的应用-实际问题

8.某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售，如果每套儿童服装以56元的价格作为标准卖出，超出的记为正数，不足的记为负数，记录如下： .当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？  

【答案】解：总售价为：56×8+（﹣3+7﹣8+9﹣2+0﹣1﹣6）=448﹣4=444（元）， 

444﹣400=44（元）.

答：盈利44元.

【解析】【分析】分别计算每一套的价格，相加即为总售价，减去成本400元即可得盈亏。

【变式8-1】小明和小红在做运算游戏，两人抽取的数据如图，游戏规定：长方形表示对应的数前是正号，圆形表示对应的数前是负号，计算其和，结果小者为胜，请分别计算出小明与小红最后和的结果，并说明谁获得了胜利.

【答案】解：小明：−4.5＋3.2−1.1＋1.4＝−5.6＋4.6＝−1； 

小红：−8＋2−（−6）＋（−7）＝−8＋2＋6−7＝−7，

∵−7＜−1，

∴小红获胜

【解析】【分析】根据题中的规定计算出两人抽取的算式的结果，比较即可.

【变式8-2】邮递员骑摩托车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B 村，然后向北骑行9km到C村，最后回到邮局．

（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？

（3）若摩托车每100km耗油3升，这趟路共耗油多少升？

【答案】解：（1）依题意得，数轴为：

；

（2）依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6km；

（3）依题意得邮递员骑了：2+3+9+4=18km，

∴共耗油量为：=0.54升．

【解析】【分析】（1）以邮局为原点，以向北方向为正方向用1cm表示1km，按此画出数轴即可；

（2）可直接算出来，也可从数轴上找出这段距离；

（3）数轴上这些点的绝对值之和为邮递员所行的路程，继而求出所耗油的量．

日     期

2月10日

2月11日

2月12日

2月13日

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