2.6 应用一元二次方程第1课时数学北师大版九年级上册学案

展开

6　应用一元二次方程

第1课时

【旧知再现】

勾股定理：__a2＋b2__＝c2(a，b是直角三角形的两条直角边，c是斜边).

【新知初探】

阅读教材P52—P53完成下面问题：

1．应用一元二次方程解决几何图形问题：

(1)主要包括面积型问题和线段型问题．

(2)线段型问题列方程的主要依据：线段的和差倍分关系或__勾股定理__．

2．动点问题：

设动点的运动时间为未知数，并用未知数表示运动路线的__长度__．

3．列一元二次方程解应用题的一般步骤

(1)审：审清题意，找出__等量关系__．

(2)设：设出__未知数__，用所设的__未知数__表示其他未知量．

(3)列：列一元二次方程．

(4)解：解一元二次方程．

(5)验：检验所求的解是否符合题意，确定__未知数__的值．

(6)答：作答．

【质疑判断】

1．并不是所有的应用题都能通过列一元二次方程解决．(　√　)

2．实际问题中的等量关系只能有一个．(　×　)

3．列方程解决实际问题时，方程的解只要不是负数，就符合实际要求．(　×　)

　应用一元二次方程解决几何图形问题

【教材P53习题T2拓展】——应用一元二次方程解决动点问题

　(2021·泰州质检)如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12 cm，AC＝8 cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，它们同时出发，设运动时间是t s(t＞0).

(1)当t＝4时，求△APQ的面积．

(2)经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．

【思路点拨】

(1)当t＝4时，根据点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，AP＝4 cm，AQ＝4 cm，利用面积公式求解．

(2)设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半，则BP＝2t cm，CQ＝t cm，进而表示出AP＝(12－2t)cm，AQ＝(8－t)cm，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．

【自主解答】(1)∵点P的速度是2 cm/s，点Q的速度是1 cm/s，

当t＝4时，BP＝2t＝8 cm，CQ＝t＝4 cm，

∴AP＝4 cm，AQ＝4 cm，

∴S△APQ＝×4×4＝8 cm2.

(2)见全解全析

【归纳提升】

几何问题中常见的等量关系

1．当题目中有直角三角形时，常借助勾股定理建立一元二次方程．

2．当题目中涉及图形面积(体积)时，常通过图形的面积(体积)公式建立方程．

变式一：巩固直角三角形的面积为24，两直角边的和为14，则斜边长为(B)

A．2 B．10 C．2 D．14

变式二：提升

(2020·无锡模拟)如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠B＝60°，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，分别沿AB，BC方向匀速移动；它们的速度分别为2 cm/s和1 cm/s.当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t(s).当t为__或__s时，△PBQ为直角三角形．