湘教版2.2 命题与证明教学演示课件ppt

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理解掌握真、假命题的判定，定理与互逆定理的概念和内涵，能判定一个定理是否有逆定理，掌握正面证明与反证法的步骤与技巧。
通过操作、观察、交流、逻辑推理、总结归纳等活动，学习真假命题的判定与技巧、能判定一个定理是否有逆定理，掌握证明的两种方法与技巧。
真假命题的判定方法与技巧，证明的两种方法与技巧。
培养学生的观察能力、逻辑推理能力、总结归纳能力，建模和套模能力，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣．
真假命题的判定方法与技巧，一个定理是否有互逆定理的判定方法，证明的两种方法与技巧。
将下列命题改写成“如果……那么……”的形式。并写出它的逆命题。
改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
2、a+b=0,则a与b互为相反数。
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
改写：如果a+b=0 ，那么a与b互为相反数。
逆命题：如果a与b互为相反数，那么a+b=0 。
下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数.
（4）同角的补角相等.
如何判定“同角的补角相等” 为真命题？
∵ ∠1+∠2=180°， ∠1+∠3=180°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3.
∴ ∠2=∠3（等式的基本性质1）
即：同角（或等角）的补角相等。
判断一个命题是真命题，常通过证明得到。
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
判定“同角的补角相等” 为真命题，通过推理可以判断出它是真命题.
如何判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题.
我们通常把这种方法称为“举反例”.
举例：0.1是有理数，但是0.1不是整数。”∴该命题是假命题.
要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子：它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.
判断一个命题是假命题，常通过举反例得到。
判断下列命题为真命题的依据是什么？
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是 等腰三角形.
依据：等腰三角形的定义
在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义！
事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.
判断“三角形的外角等于不相邻的两内角和”是真命题时，能用一个概念的定义判断吗？
古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
本书中，我们把少数真命题作为基本事实.
我们学过的一些“基本事实”，你能举出一些吗？
两点确定一条直线；两点之间线段最短等.
例如，我们从基本事实“同位角相等，两直线平行”证明了一些有关于行线的结论。
人们用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假。
同位角相等， 两直线平行.
内错角相等， 两直线平行.同旁内角互补， 两直线平行.
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.
我们已学过许多定理，你能举一些例子吗？
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假。
1、如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2。
2、内错角相等，两直线平行。
逆命题：如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角。
逆命题：两直线平行，内错角相等。
逆定理：两直线平行，内错角相等。
你有哪些方法证明三角形的外角和为1800？
采用剪拼或度量的方法可以猜测出三角形的外角和为1800。
数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.
证明的每一步都必须要有根据.
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：∵ ∠BAF +∠1=1800 ∠CBD +∠2=1800 ∠ACE+∠3=1800
∴ ∠BAF +∠CBD+∠ACE +∠1+∠2+∠3=5400
又∵ ∠1+∠2+∠3=1800
∴ ∠BAF +∠CBD+∠ACE=3600
即：三角形的外角和为3600
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA 的延长线上，射线AE平分∠DAC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C
∴ ∠DAC=2∠B.
∴∠DAC=2∠DAE
（同位角相等，两直线平行）
例2 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于 或等于60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路:
证明 假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°，
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0；
（2）相等的角是对顶角；
（3）一个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.
2. 举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；
（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.
答：450、300的两个锐角和不是钝角
答：-1和-3的积是(-1) ×(-3)>0，但-1和-3不是正数.
答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等
3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.
答：两直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行。
4. 在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.求证：∠C+∠D= 180°.证明：∵∠A+∠B= 180°（已知）， ∴ AD∥BC（ ）. ∴ ∠C+∠D= 180° （ ）.
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
5. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截， ∠1=∠2. 求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明： ∵ ∠1=∠2，
（两直线平行,内错角相等）
（两直线平行, 同旁内角互补）.
6. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明： ∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又 ∠A+∠C +∠AEC =∠B+∠D +∠BED =180°（三角形内角和等于180°），
经过证明为真的命题叫作定理.
定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理。
把错误的命题称为假命题.
课作：P59 习题2.2 第6、7题家作：P59 习题2.2第3、4、5题、8题并预习课本P61~P63