北师大版八年级下册4 角平分线学案

【巩固练习】

一.选择题

1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分

∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, 　(2)AE＝CE 　(3)OA＝OB＝OD＝OE 　(4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（    ）

　 A.1 　 　  　B.2 　  　  　C.3 　　   　D.4
 

2.（2020•招远市模拟）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（　　）

A．4       B．3    C．6    D．5

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB＝（    ）

   A.50°       B.45°        C.40°        D .35°

4. 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（    ）

   A.①③       B.②③       C.①②        D.①②③

5.（2020春•成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点            B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点        D．△ABC三条角平分线的交点

6．中，AD是的平分线，且.若，则 的大小为 （     ） 

A．      B．      C．      D．              

二.填空题

7. 在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长为            .

8. 如图，已知在中，平分，于，若，则的周长为        ．

9.（2020•邯郸二模）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是　  　．

10.（2020春•海门市期末）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为　     　．

11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝__________.

三.解答题

13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.

求证：CM＝CN．

14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°

求证：2AE=AB+AD．

15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】（1）（2）（4）是正确的.

2.【答案】B；

  【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故选：B．

3.【答案】B；

  【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.

4.【答案】C；

  【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠BAP，所以②正确.

5.【答案】D；

【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选D．

6.【答案】A；

【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，

2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.

二.填空题

7. 【答案】1；

   【解析】由题意设DE＝CE＝，BC＝BD＝AD＝，AE＝2，AC ＝3＝3，＝1.

8. 【答案】15；

   【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15.

9. 【答案】30

【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OE=OF=OD=3，

∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，

∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF

=×（AB+BC+AC）×3

=20×3=30

10.【答案】；

   【解析】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，

∵AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∵AB=4，△ABD的面积为3，

∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；

∴DF=，

∵AC=2，

∴S△ACD=AC•DF=×2×=．

故答案为：．

11.【答案】35°；

【解析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°.

12.【答案】10°；

【解析】考虑△BDC中， EC 是∠C的平分线， EB是∠B的外角平分线， 所以E是△BDC的一个旁心， 于是ED平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝∠ADB － ∠DCB ＝∠DBC ＝ ×20°＝ 10°.

三.解答题

13.【解析】

证明：∵OD平分∠POQ

∴∠AOD＝∠BOD

在△AOD与△BOD中

∴△AOD≌△BOD（SAS）

∴∠ADO＝∠BDO

又∵CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.

∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

14.【解析】

证明：过C作CF⊥AD于F，

∵AC平分∠BAD，

∴∠FAC=∠EAC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴∠DFC=∠CEB=90°，

∴△AFC≌△AEC，

∴AF=AE，CF=CE，

∵∠ADC+∠B=180°

∴∠FDC=∠EBC，

∴△FDC≌△EBC

∴DF=EB，

∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE

∴2AE=AB+AD

15.【解析】DE＝DF.

证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

      ∵AD是△ABC的角平分线，

      ∴DM＝DN

      ∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180°

      又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180°

        ∴∠1＝∠4

       在Rt△DEM与Rt△DFN中

       ∴Rt△DEM≌Rt△DFN （ASA）

       ∴DE＝DF