人教版新课标A必修12.2.2对数函数及其性质教案设计

这是一份人教版新课标A必修12.2.2对数函数及其性质教案设计，共11页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，错因分析，防范措施等内容，欢迎下载使用。

2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质
●三维目标
1．知识技能
(1)理解对数函数的概念；
(2)掌握对数函数的性质．了解对数函数在生产实际中的简单应用．
2．过程与方法
(1)培养学生数学交流能力和与人合作精神；
(2)用联系的观点分析问题．通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣；
(2)在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．
●重点难点
重点：对数函数的定义、图象和性质，对数函数性质的初步应用．
难点：底数a对图象的影响．
重难点的突破：由指数函数的图象过渡到对数函数的图象，通过类比分析达到深刻地了解对数函数的图象及其性质是掌握重点和突破难点的关键，在教学中一定要使学生的思考紧紧围绕图象，数形结合，加强直观教学，使学生能形成以图象为根本，以性质为主体的知识网络．同时，在例题的讲解中，重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现出由浅入深，由易到难，由具体到抽象的特点，从而突出重点突破难点．
课前自主导学
【问题导思】
1．y＝2x是指数函数，那么y＝lg2x(x>0)是否表示y是x的函数？为什么？
【提示】 是．由对数的定义可知y＝lg2x(x>0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝lg2x(x>0)表示y是x的函数．
2．下列函数中是对数函数的是( )
A．y＝lg2(x＋1) B．y＝2lg2x
C．y＝lg0.6x D．y＝lg3x＋5
【提示】 由对数函数的定义，只有C符合，故答案为C.
对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
【问题导思】
1．在同一坐标系中y＝lg2x与y＝lgeq \f(1,2)x的图象如图所示． 你能大体说一下y＝lg2x及y＝lgeq \f(1,2)x的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗？
【提示】
2.从图象上看，函数y＝lg2x与y＝lgeq \f(1,2)x的图象有何关系？
【提示】 关于x轴对称．
3.在同一坐标系中，对数函数y＝lg2x，y＝lg5x，y＝lgeq \f(1,2)x，y＝lgeq \f(1,5)x的图象如图所示．从图象上看，图象的分布与底数有什么关系？
【提示】在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴，0a越小，图象越靠近x轴．
对数函数的图象和性质
课堂互动探究
指出下列函数中哪些是对数函数．
(1)y＝lgax2(a>0，且a≠1)；
(2)y＝lg2x－1；
(3)y＝2lg7x；
(4)y＝lgxa(x>0且x≠1)；
(5)y＝lg5x.
【思路探究】 eq \x(选项)eq \(――→,\s\up12(对照))eq \x(y＝lgaxa>0且a≠1)
eq \(――→,\s\up12(符合))eq \x(即为对数函数)
【自主解答】 (1)中真数不是自变量x，不是对数函数．
(2)中对数式后减1，不是对数函数．
(3)中lg7x前的系数是2，而不是1.故不是对数函数．
(4)中底数是自变量x，而非常数，故不是对数函数．
(5)符合对数函数的形式，是对数函数．
1．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数解析式中只有一个参数a，故用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出．
若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为 ( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
【解析】 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0且a≠1)，
又题意可知lga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
【答案】 A
(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝lg3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2C．x1(2)作出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
【思路探究】 (1)eq \x(\a\al(作三个函数的图象通过与直线,y＝1交点区分各函数))
→eq \x(\a\al(找y＝aa<0与三个函数,的交点的横坐标x1，x2，x3))→eq \x(比较x1，x2，x3大小)
(2)eq \x(\a\al(画y＝lgx,的图象))→eq \x(\a\al(利用平移规律得到,y＝lgx－1图象))→eq \x(\a\al(利用对称规律作出,y＝|lgx－1|图象))
【自主解答】 (1)如图，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x的大致图象，作直线y＝a(a<0)与上述函数图象交点横坐标分别是x1，x2，x3，由图可知：x2【答案】 A
(2)先画出函数y＝lgx的图象(如图)．
再向右平移1个单位得出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
最后把y＝lg(x－1)的图象在x轴下方的部分对称翻到x轴上方．(原来在x轴上方的部分不变)即得出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
1．根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
2．函数图象的平移变换规律：
3．函数图象的对称变换规律：
eq \x(\a\al(函数y＝,fx的图象))eq \(――――――――――――――→,\s\up12(y轴左侧图象去掉，右侧保留),\s\d12(并“复制”一份翻到y轴左侧))eq \x(\a\al(函数y＝,f|x|的图象))
eq \x(\a\al(函数y＝,fx的图象))eq \(――――――――――→,\s\up12(x轴上方图象不变，),\s\d12(下方图象翻到上方))eq \x(\a\al(函数y＝|fx|,的图象))
函数y＝lga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A．(1,2)B．(2,1)
C．(－2,1)D．(－1,1)
【解析】 令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝lga1＋1＝1，
故函数y＝lga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．
【答案】 D
求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \r(lg2－x)；
(2)y＝eq \f(1,lg33x－2)；
(3)y＝lg(2x－1)(－4x＋8)．
【思路探究】 对于(1)首先要保证根式有意义，对于(2)首先要保证分母不为0，对于(3)要保证对数式有意义．
【自主解答】 (1)由题意得lg(2－x)≥0，即2－x≥1，
也即x≤1.故函数y＝eq \r(lg2－x)的定义域为{x|x≤1}．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg33x－2≠0，,3x－2>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2≠1，,3x>2，))解得x>eq \f(2,3)且x≠1.
故函数y＝eq \f(1,lg33x－2)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>\f(2,3)))且x≠1)).
(3)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))
故函数y＝lg(2x－1)(－4x＋8)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))求与对数函数有关的定义域时应注意以下两点：
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法，如分式分母不为零，偶次根式被开方式大于或等于零等．
(2)遵循对数函数自身的要求：一是真数大于零；二是底数大于零且不等于1；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．
把本例(1)变成“y＝eq \r(lg\f(1,2)2－x)”求定义域．
【解】 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)2－x≥0，,2－x>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)2－x≥lg\f(1,2)1，,2－x>0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x≤1，,2－x>0，))即1≤x<2. 故函数y＝eq \r(lg\f(1,2)2－x)的定义域为{x|1≤x<2}.
易错易误辨析
因忽略对数函数的定义域致误
设函数y＝f(x)，且lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
【错解】 (1)因为lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)，所以lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，
即lgy＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x(x∈R)．
(2)令u＝3x·(3－x)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(27,4)≤eq \f(27,4)，
则函数y＝10－3x2＋9x的值域为(0,10eq \f(27,4)]．
【错因分析】 没有考虑所给式子成立的条件，所求函数的定义域必须使原式有意义，不能仅根据去掉对数符号所得的解析式去确定函数的定义域．
【防范措施】 1.求函数的定义域务必注意要使每个式子均有意义，不可只针对变形后的式子．
2．解决含有对数式的问题，务必保证对数式有意义．
【正解】 (1)由题设知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,3－x>0，,lgy>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(01.))
因为lg(lgy)＝lg3x＋lg(3－x)，
所以lg(lgy)＝lg[3x·(3－x)]，即lgy＝3x·(3－x)，
所以f(x)＝103x(3－x)＝10－3x2＋9x，其中0即定义域为(0,3)．
(2)令u＝－3x2＋9x＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(27,4)，0因为0<－3x2＋9x≤eq \f(27,4)，所以1课堂小结
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝lgax(a>0且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝lgax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.
当堂双基训练
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lga(2x) B．y＝lg22x
C．y＝lg2x＋1D．y＝lgx
【解析】 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝lgax(a>0且a≠1)”的形式，只有D选项符合．
【答案】 D
2．(2013·江西高考)函数y＝eq \r(x)ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1)B．[0,1)
C．(0,1]D．[0,1]
【解析】 因为y＝eq \r(x)ln(1－x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,1－x>0))，解得0≤x<1.
【答案】 B
3．函数y＝lga(x－1)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________．
【解析】 当x＝2时，y＝1，故恒过定点(2,1)．
【答案】 (2,1)
4．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)；
(2)f(x)＝lg(x＋1)(16－4x)．
【解】 (1)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－3≠0，))
解之得x>2且x≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))
解之得－1课后知能检测
一、选择题
1．函数y＝lgax的图象如图2－2－2所示，则a的值可以是( )
图2－2－1
A．0.5B．2
C．eD．π
【解析】 ∵函数y＝lgax的图象单调递减，∴0【答案】 A
2．已知函数f(x)＝1＋lg2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))的值为( )
A.eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．0D．－1
【解析】 ∵f(x)＝1＋lg2x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1＋lg2eq \f(1,2)＝1－1＝0.
【答案】 C
3．在同一坐标系中，函数y＝lg3x与y＝lgeq \f(1,3)x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称
【解析】 ∵y＝lgeq \f(1,3)x＝－lg3x，∴函数y＝lg3x与y＝lgeq \f(1,3)x的图象关于x轴对称．
【答案】 B
4．(2013·重庆高考)函数y＝eq \f(1,lg2x－2)的定义域是( )
A．(－∞，2)B．(2，＋∞)
C．(2,3)∪(3，＋∞)D．(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x－2≠0，,x－2>0，))得x>2且x≠3，故选C.
【答案】 C
5.如图所示，曲线是对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象，已知a取eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为( )
A.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) B.eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5)
C.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10) D.eq \f(4,3)、eq \r(3)、eq \f(1,10)、eq \f(3,5)
【解析】 作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝lgax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为eq \r(3)、eq \f(4,3)、eq \f(3,5)、eq \f(1,10)，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2eq \r(2))＝________.
【解析】 设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，则－3＝lga8，
∴a＝eq \f(1,2).∴f(x)＝lgeq \f(1,2)x，f(2eq \r(2))＝lgeq \f(1,2)(2eq \r(2))＝－lg2(2eq \r(2))＝－eq \f(3,2).
【答案】 －eq \f(3,2)
7．函数f(x)＝lga(3x－2)＋2(a>0且a≠1)恒过定点________．
【解析】 令3x－2＝1得x＝1，此时f(1)＝lga1＋2＝2，
即函数f(x)＝lga(3x－2)＋2恒过定点(1,2)．
【答案】 (1,2)
8．设函数f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2013)＝8，则f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋…＋f(xeq \\al(2,2013))的值等于________．
【解析】 ∵f(xeq \\al(2,1))＋f(xeq \\al(2,2))＋f(xeq \\al(2,3))＋…＋f(xeq \\al(2,2013))
＝lgaxeq \\al(2,1)＋lgaxeq \\al(2,2)＋lgaxeq \\al(2,3)＋…＋lgaxeq \\al(2,2013)＝lga(x1x2x3…x2013)2
＝2lga(x1x2x3…x2013)＝2f(x1x2x3…x2013)，
∴原式＝2×8＝16.
【答案】 16
三、解答题
9．已知f(x)＝lg3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)【解】 (1)作出函数y＝lg3x的图象如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即lg3x＝lg32，解得x＝2.
由图象知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
10．已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1)，若f(2x)＝eq \f(5,4)，求(eq \r(2))x的值．
【解】 ∵f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1)，∴f(2x)＝eq \f(4x＋1,4x－1)＝eq \f(5,4)，
∴4x＝9，∴x＝lg49，∴(eq \r(2))x＝2eq \f(x,2)＝2eq \f(1,2)lg49＝eq \r(3).
11．已知函数f(x)＝lg3(ax＋b)的图象经过点A(2,1)、B(5,2)，
(1)求函数f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(14)÷feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))的值．
【解】 ∵函数f(x)＝lg3(ax＋b)的图象经过点A(2,1)、B(5,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2＝1，,f5＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg32a＋b＝1，,lg35a＋b＝2，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝3，,5a＋b＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))
∴f(x)＝lg3(2x－1)，定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
(2)f(14)÷feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)＋1,2)))＝lg327÷lg3eq \r(3)＝3÷eq \f(1,2)＝6.课标解读
1.理解对数函数的概念，图象及性质．(重点)
2．根据对数函数的定义判断一个函数是否是对数函数．(易混点)
3．初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域问题．(难点)
知识1
对数函数的概念
知识2
对数函数的图象和性质
定义域
值域
单调性
奇偶性
y＝lg2x
{x|x>0}
R
增函数
非奇非偶
y＝lgeq \f(1,2)x
{x|x>0}
R
减函数
非奇非偶
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
(1,0)，即当x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
类型1
对数函数的概念
类型2
对数函数的图象
类型3
对数函数的定义域