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初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程学案及答案
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这是一份初中数学北师大版九年级上册6 应用一元二次方程学案及答案，共6页。学案主要包含了用配方法解方程，配方法求二次三项式中的待定系数，配方法求二次三项式的最大值，配方法求多元未知数的值，配方法比较两个二次三项式的大小等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程的应用
教学目标
要求掌握一元二次方程的几种常见应用题
教学重点
利率问题、最值问题、降价销售问题、动点问题
教学难点
最值问题、动点问题
前课回顾
1、一元二次方程的四种解法：
2、根的判别式的作用：
错题重现
1．(2014·济宁)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两根是m＋1，2m－4，则eq \f(b,a)＝____．
2．(2014·内江)关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是：x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是( )
A．x1＝－6，x2＝－1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2
3．关于x的一元二次方程(1－m)x2－2x－1＝0有两个实数根，则m的最大整数值是____．
4．函数y＝kx＋b的图象如图所示，试证明，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0必有两个不等实根．
知识详解
配方法的应用
一、用配方法解方程
1．解方程：
(1)x2－2x－288＝0 (2)3x2－x－1＝0
二、配方法求二次三项式中的待定系数
2．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( )
A．8 B．16 C．－16 D．±16
3．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝___．
4．已知关于x的二次三项式，x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式，求k的值．
三、配方法求二次三项式的最大(小)值
5．求多项式2x2－4x＋7的最小值．
6．求二次三项式－2x2＋x－1的最大值．
四、配方法求多元未知数的值
7．已知实数m，n满足m2＋n2＋4m－2n＋5＝0，求m·n＋m＋n的值．
8．已知|2z－y|＋eq \r(y－4)＋4x2＋4xy＋y2＝0，求x，y，z.
五、配方法比较两个二次三项式的大小
9．设A＝2x2－4x－1，B＝x2－6x－6，试比较A与B的大小．
一元二次方程的应用
一、传播问题
1．(2014·天津)要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队员之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.eq \f(1,2)x(x＋1)＝28 B.eq \f(1,2)x(x－1)＝28
C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28
2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，请你用学过的一元二次方程模型分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效地控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
二、增长率与利润问题
3．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，去年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了．假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使明年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取eq \r(2)≈1.41)
4．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__ __万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
6．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
三、面积问题
7．已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为__ __．
8．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：
(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
9．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300平方米．
小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)
10．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面如图所示)．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.
随堂检测
例1证明代数式的值恒大于零，并求出这个代数式的最小值
练习：
1、试说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数，并求出它的最大值或最小值．
2、证明关于x的方程，无论m为何值，方程都是一元二次方程．
【例2】联华超市销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件。求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，且让顾客感到实惠，每件衬衫应降价多少元？
（2）用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多，最多是多少？
作业设计
典中点P
教学反思
一元二次方程的应用
教学目标
要求掌握一元二次方程的几种常见应用题
教学重点
利率问题、最值问题、降价销售问题、动点问题
教学难点
最值问题、动点问题
前课回顾
1、一元二次方程的四种解法：
2、根的判别式的作用：
错题重现
1．(2014·济宁)若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两根是m＋1，2m－4，则eq \f(b,a)＝____．
2．(2014·内江)关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是：x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是( )
A．x1＝－6，x2＝－1 B．x1＝0，x2＝5
C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝2
3．关于x的一元二次方程(1－m)x2－2x－1＝0有两个实数根，则m的最大整数值是____．
4．函数y＝kx＋b的图象如图所示，试证明，关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－1＝0必有两个不等实根．
知识详解
配方法的应用
一、用配方法解方程
1．解方程：
(1)x2－2x－288＝0 (2)3x2－x－1＝0
二、配方法求二次三项式中的待定系数
2．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( )
A．8 B．16 C．－16 D．±16
3．已知4x2＋12x＋m2是完全平方式，则m＝___．
4．已知关于x的二次三项式，x2＋(k＋1)x＋k2－2k＋1是完全平方式，求k的值．
三、配方法求二次三项式的最大(小)值
5．求多项式2x2－4x＋7的最小值．
6．求二次三项式－2x2＋x－1的最大值．
四、配方法求多元未知数的值
7．已知实数m，n满足m2＋n2＋4m－2n＋5＝0，求m·n＋m＋n的值．
8．已知|2z－y|＋eq \r(y－4)＋4x2＋4xy＋y2＝0，求x，y，z.
五、配方法比较两个二次三项式的大小
9．设A＝2x2－4x－1，B＝x2－6x－6，试比较A与B的大小．
一元二次方程的应用
一、传播问题
1．(2014·天津)要组织一场排球邀请赛，参赛的每两个队员之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A.eq \f(1,2)x(x＋1)＝28 B.eq \f(1,2)x(x－1)＝28
C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28
2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，请你用学过的一元二次方程模型分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效地控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
二、增长率与利润问题
3．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，去年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了．假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使明年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取eq \r(2)≈1.41)
4．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__ __万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
5．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
6．(2014·随州)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
三、面积问题
7．已知菱形的周长为40，两对角线之比为3∶4，则两对角线的长分别为__ __．
8．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．求：
(1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？
(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
9．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300平方米．
小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)
10．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面如图所示)．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙的建造单价为每米400元，中间两条隔墙的建造单价为每米300元，池底的建造单价为每平方米80元(池墙的厚度忽略不计)．当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x.
随堂检测
例1证明代数式的值恒大于零，并求出这个代数式的最小值
练习：
1、试说明代数式-4x2+8x-5的值是正数还是负数，并求出它的最大值或最小值．
2、证明关于x的方程，无论m为何值，方程都是一元二次方程．
【例2】联华超市销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件。求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，且让顾客感到实惠，每件衬衫应降价多少元？
（2）用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多，最多是多少？
作业设计
典中点P
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