必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和学案

这是一份必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和学案，共6页。学案主要包含了学习目标，自主预习，互动探究，课堂练习等内容，欢迎下载使用。

1．通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用．
2．掌握等比中项的概念并会应用．
3．掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．
【自主预习】
1．等比数列的概念和特点
(1)文字定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)递推公式形式的定义：eq \f(an,an－1)＝q(n>1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\f(an＋1,an)＝q，n∈N*))．
(3)等比数列的各项均不能为0．
2．等差中项与等比中项的异同，对比如下表：
3．等比数列的通项公式
【互动探究】
等比数列的判定
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列．
(2)求{an}的通项公式．
[思路点拨](1)欲证{bn}是等比数列，需证eq \f(bn＋1,bn)为常数．又bn＝an＋1，所以bn＋1＝an＋1＋1.故只需将条件式变换为an＋1＋1与an＋1的关系式即可得证．
(2)只要求出了{bn}的通项公式，就可以求出{an}的通项公式．
(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn．
因为b1＝a1＋1＝2≠0，所以bn≠0．
所以eq \f(bn＋1,bn)＝2．
所以{bn}是等比数列．
(2)解：由(1)知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，所以bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n．
所以an＝2n－1．
等比数列通项公式的简单应用
(1)已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
解析：设等比数列{an}的公比为q.因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0.解得q＝2．
答案：B
(2)在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．
解：设公比为q.由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1q＋a1q4＝18，①,a1q2＋a1q5＝9.②))
由eq \f(②,①)得q＝eq \f(1,2).所以a1＝32．
又an＝1，所以32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20．
所以n＝6．
等比中项及其应用
若1, a, 3成等差数列，1, b, 4成等比数列，则eq \f(a,b)的值为( )
A．±eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．1 D．±1
解析：因为1，a,3成等差数列，
所以a＝eq \f(1＋3,2)＝2．
因为1，b,4成等比数列，所以b2＝1×4，b＝±2．
所以eq \f(a,b)＝eq \f(2,±2)＝±1．
答案：D
【课堂练习】
1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8
C．6 D．32
解析：由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1.即2n－1＝32，所以n＝6．
答案：C
2．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：因为aeq \\al(2,4)＝a2·a6，所以a2·a6＝16．
答案：C
3．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于eq \r(12,2).若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
A．eq \r(3,2)f B．eq \r(3,22)f
C．eq \r(12,25)f D．eq \r(12,27)f
解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为eq \r(12,2)的等比数列，则第八个单音的频率为(eq \r(12,2))7f＝eq \r(12,27)f.故选D．
答案：D
4．在等比数列{an}中，已知a1a3a11＝8，那么a2a8＝________．
解析：因为a1a3a11＝(a1q4)3＝8，所以a1q4＝2．
所以a2a8＝a1q·a1q7＝(a1q4)2＝4．
答案：4
5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an．
解：因为a5＝a1·q4＝8，a7＝a1·q6＝2，
所以q2＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)，q＝±eq \f(1,2).而an各项都为正数，
所以q＝eq \f(1,2)，a1＝eq \f(8,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4)＝128．
所以an＝a1·qn－1＝128×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝28－n．对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)
公式
A＝eq \f(a＋b,2)
G＝±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
递推公式
通项公式
eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)
an＝a1·qn－1(n∈N*)