2021学年4.3 等比数列学案设计

等比数列的概念 等比数列的通项公式

我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”

[问题]　(1)你能写出“出门望九堤”问题构成的数列吗？

(2)根据数列相邻两项的关系，上述数列有什么特点？

知识点一　等比数列的定义

　如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母表示．

1．若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列一定是等比数列吗？

提示：不一定，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．

2．等比数列的首项不为零，公比可以为零吗？其它项是否可以为零？

提示：不能．

3．常数列一定是等比数列吗？

提示：不一定，如0，0，0，….

1．下列数列为等比数列的是(　　)

A．2，22，3×22，…　　　　　　 B.，，，…

C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…  D．0，0，0，…

解析：选B　A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C项可为0，不符合定义．

2．若－1，b，－9成等比数列，则b＝________．

解析：由等比数列定义知＝，即b2＝9，故b＝±3.

答案：±3

知识点二　等比数列的通项公式

　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1．

1．等比数列的通项公式an＝a1qn－1可推广到一般情况：an＝amqn－m(m，n∈N*)．

2．等比数列与指数函数的关系

类似于等差数列与一次函数的关系，由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．　　　　

1．等比数列{an}中，a1＝3，公比q＝2，则a5＝(　　)

A．32  B．－48

C．48  D．96

答案：C

2．在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为________，通项公式为an＝________．

答案：±2　(－2)n或－2n

[例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列．

[解]　(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，

所以a1＝－.

又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.

(2)证明：当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，

得＝－.又a1＝－，

所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．

判断一个数列是等比数列的常用方法

定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．　　　　

[跟踪训练]

1．已知等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，且bn＝3，证明{bn}是等比数列．

证明：b1＝3＝33＝27，

当n≥2时，＝＝3＝3d＝32＝9，

所以{bn}是首项为b1＝27，公比q＝9的等比数列．

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列．

证明：∵an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1，∴bn＋1＝an＋1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)＝2bn，又∵b1＝a1＋1＝2，

∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.

角度一：等比数列的基本运算

[例2]　(链接教科书第146页例4，例6)在等比数列{an}中：

(1)a1＝1，a4＝8，求an；

(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；

(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

[解]　(1)因为a4＝a1q3，

所以8＝q3，所以q＝2，

所以an＝a1qn－1＝2n－1.

(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.

(3)因为

由，得q＝，从而a1＝32.

又an＝1，

所以32×＝1，

即26－n＝20，故n＝6.

求等比数列通项公式的常用方法

(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算；

(3)等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．　　　　

角度二：灵活设元求解等比数列问题

[例3]　(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．

(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．

(1)[解析]　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，

则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即

整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.

[答案]　45

(2)[解]　法一：设前三个数为，a，aq，

则·a·aq＝216，

所以a3＝216.所以a＝6.

因此前三个数为，6，6q.

由题意知第4个数为12q－6.

所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.

故所求的四个数为9，6，4，2.

法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9，6，4，2.

几个数成等比数列的设法

(1)三个数成等比数列设为，a，aq.

推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…，，，a，aq，aq2，…；

(2)四个符号相同的数成等比数列设为：，，aq，aq3.

推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，，aq，aq3，aq5，…；

(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.　　　　

[跟踪训练]

1．在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)

A．－4或　　　　　　　 B．4或

C．4  D．17

解析：选B　设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.

由a，，20成等差数列得2×＝a＋20.

∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.

当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋＝4.

当a＝5时，插入的两个数的和为a＋＝.

2．在等比数列{an}中．

(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；

(2)若a4＝2，a7＝8，求an.

解：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，

所以a5＝405.

(2)因为所以

由得q3＝4，

从而q＝，而a1q3＝2，

于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.

[例4]　某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？

[解]　设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，

∴＝1＋m%.

∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.

∴2021年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．

数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　　　　

[跟踪训练]

某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．

(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值；

(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？

解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，

由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，

a3＝13.5(1－10%)2，….

由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，

∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.

∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．

(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.

∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元．

1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A．b＝3，ac＝9  B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9  D．b＝－3，ac＝－9

解析：选B　因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，

所以b＝－3，且a，c必同号．

所以ac＝b2＝9.

2．等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　∵＝·，∴＝，

即＝，∴n－1＝3，∴n＝4.

3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，则x＝________．

解析：由x，2x＋2，3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或x＝－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．

∴x＝－4.

答案：－4

4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．

解析：a7＝a4·q3＝27×(－3)3＝－729.

答案：－729