高中数学人教版新课标A必修5第二章 数列2.3 等差数列的前n项和教学设计及反思

2.2.2　等差数列通项公式

从容说课

本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题.

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.

教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.

教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

教具准备 多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.明确等差中项的概念;

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;

3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.

二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想;

2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;

2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.

教学过程

导入新课

师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？

生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-a n-1=d(n≥2，n∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示).

师 对，我再找同学说一说等差数列{an}的通项公式的内容是什么？

生1 等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d.

生2 等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数).

师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的公式：①d=an-a n-1；②；③.你能理解与记忆它们吗？

生3 公式②与③记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差).

［合作探究］

探究内容：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么数A应满足什么样的条件呢？

师 本题在这里要求的是什么?

生 当然是要用a，b来表示数A.

师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?

生 由定义可得A -a=b-A，即.

反之，若，则A-a=b-A,

由此可以得a,A,b成等差数列.

推进新课

我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.

9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.

［方法引导］

等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.

［合作探究］

师 在等差数列{an}中，d为公差，若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q，那么这些项与项之间有何种等量关系呢？

生 我得到了一种关系am+an=ap+aq.

师 能把你的发现过程说一下吗？

生 受等差中项的启发，我发现a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7.

从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq.

师 你所得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们是否可以对这归纳的结论加以证明呢？

生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a1，则

am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,

ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d.

因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.

师 好极了！由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{an}的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边相等，所以am+an=ap+aq.

同样地，我们还有：若m+n=2p,则am+an=2ap.这也是等差中项的内容.

师 注意：由am+an=ap+aq推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?

生 我举常数列就可以说明了.

师 举得好!这说明在等差数列中，am+an=ap+aq是m+n=p+q成立的必要不充分条件.

［例题剖析］

【例1】 在等差数列{an}中，若a1+a6=9，a4=7，求a3，a9.

师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？

生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.

生2 而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过了).

生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？

生4 因为{an}是等差数列，所以a1+a6=a4+a3=9a3=9-a4=9-7=2,

所以可得d=a4-a3=7-2=5.

又因为a9=a4+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a3=2，a9=32.

【例2】 (课本P44的例2)　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?

师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？

生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.

师 为什么？

生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.

师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?

生 分别是11.2，1.2.

师 好，大家计算一下本题的结果是多少?

生 需要支付车费23.2元.

(教师按课本例题的解答示范格式)

评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，做此题的目的是让大家学会从实际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.

课堂练习

1.在等差数列{an}中，

(1)若a5=a,a10=b,求a15.

解：由等差数列{an}知2a10=a5+a15,即2b=a+a15,所以a15=2b-a.

(2)若a3+a8=m,求a5+a6.

解：等差数列{an}中，a5+a6=a3+a8=m.

(3)若a5=6,a8=15,求a14.

解：由等差数列{an}得a8=a5+(8-5)d,即15=6+3d,所以d=3.

从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33.

(4)已知a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80，求a11+a12+…+a15的值.

解：等差数列{an}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……

所以2a6=a1+a11,2a7=a2+a12,……

从而(a11+a12+…+a15)+(a1+a2+…+a5)=2(a6+a7+…+a10),

因此有(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)

=2×80-30=130.

2.让学生完成课本P45练习5.

教师对学生的完成情况作出小结与评价.

［方法引导］

此类问题的解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的性质，其次要注意各基本量之间的关系及其它们的取值范围.

课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？

生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.

(让学生自己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合,培养学生的概括能力和语言表达能力)

布置作业

课本第45页习题2.2 A组第4、5题.

预习内容：课本P48～P52.

预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.

板书设计