数学必修41.6 三角函数模型的简单应用精练

第一章　三角函数

1.6　三角函数模型的简单应用

基础过关练

题组一　已知三角函数模型确定参数的值或函数值

1.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低,为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)          B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*)

C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*)              D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

2.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500 (φ>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:

则此楼群在第三季度的平均单价大约是(　　)

A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元

3.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示,求:

(1)开始时的电压;

(2)电压值重复出现一次的时间间隔;

(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.

题组二　建立三角函数模型

4.一个大风车的半径为8米,12分钟旋转一周,它的最低点P0离地面2米,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P到地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式是(　　)

A.h(t)=-8sint+10                 B.h(t)=-8cost+10            C.h(t)=-8sint+8                  D.h(t)=-8cost+8

5.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所经过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)

6.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是(　　)

A.[0,1]   B.[1,7]            C.[7,12]       D.[0,1]和[7,12]

7.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一些对应值如下表,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　　　　. 

8.如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).

(1)求出种群数量y关于时间t的正弦型函数解析式(其中t以年初以来的月为计量单位);

(2)估计当年3月1日动物种群数量.

题组三　三角函数模型的应用

9.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某天某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)

A.[0,5] B.[5,10]          C.[10,15] D.[15,20]

10.一半径为10米的水轮,水轮的圆心到水面的距离为7米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系式y=Asin(ωx+φ)+7,则(　　)

A.ω=,A=10 B.ω=,A=10         C.ω=,A=17 D.ω=,A=17

11.一束光线与玻璃成45°角,穿过折射率为1.5,厚度为1 cm的一块玻璃,那么光线在玻璃内的行程是多少?折射率=,其中α为入射角,β为折射角

12.(2020广东佛山高一上期末)弹簧振子的振动是简谐振动.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t(单位:s)与位移y(单位:mm)之间的对应数据记录如下表:

(1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式;

(2)在平面直角坐标系中作出t∈[0,0.6]的函数图象;

(3)在整个振动过程中,求位移为10 mm时t的取值集合.

13.某景区酒店的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:

①每年相同的月份,入住的游客人数基本相同;

②入住的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;

③2月份入住的游客约为100人,随后逐月递增,8月份达到最多.

(1)若入住酒店的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0, ω>0, 0<|φ|<π)近似描述,求该函数的解析式;

(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐?

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系:

经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)的图象.下面的函数中,最能表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A.y=12+3sin t,t∈[0,24]                   B.y=12+3sin,t∈[0,24]

C.y=12+3sin t,t∈[0,24]                 D.y=12+3sin,t∈[0,24]

2.(★★☆)下图是函数y=sin x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是(　　)

二、填空题

3.(2020北京朝阳高一上期末质检,★★☆)在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,r为半径作圆,A为圆周上的一点,以Ox为始边,OA为终边的角为α,则点A的坐标是　　　　,从A点出发,以恒定的角速度ω转动,经过t秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C作简谐运动,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为　　　　. 

三、解答题

4.(2019上海高三期末,★★☆)在股票市场上,投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作,股民老张在研究某只股票时,发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点:每日股价y(元)与时间x(天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+20(a>0,ω>0,0<φ<π)的图象从最高点A到最低点C的一段来描述(如图),并且从C点到今天的D点在底部横盘整理,今天也出现了明显的底部结束信号.老张预测这只股票未来一段时间的走势图为图中虚线DEF段,且DEF段与ABC段关于直线l:x=34对称,点B,D的坐标分别是(12,20),(44,12).

(1)请你帮老张确定a,ω,φ的值,并写出ABC段的函数解析式;

(2)如果老张预测准确,且今天买入该只股票,那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍?

答案全解全析

第一章　三角函数

1.6　三角函数模型的

简单应用

基础过关练

1.A　因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低,为5千元,所以f(x)的半个周期为=4,得T=8,所以ω=,

易得所以

所以f(x)=2sin+7,

当x=3时,sin=1,∴φ=2kπ-(k∈Z),∵|φ|<,∴φ=-.

∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*),故选A.

2.C　由题中表格数据可得,

10 000=500sin(ω+φ)+9 500,

9 500=500sin(2ω+φ)+9 500,

∴sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0,

∴ω+φ=2kπ+,2ω+φ=2kπ+π,k∈Z,

解得ω=,φ=2kπ,k∈Z,

∴当x=3时,y=500sin+9 500=9 000(元).故选C.

3.解析　(1)当t=0时,E=110(V),即开始时的电压为110 V.

(2)T==(s),即时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220 V,当100πt+=,即t= s时第一次取得最大值.

4.B　设h(t)=Acos ωt+B,

∵12分钟旋转一周,∴T==12,

∴ω=.

易知h(t)的最大值与最小值分别为18,2.

∴解得

∴h(t)=-8cost+10.故选B.

5.C　设弧所对圆心角为θ,由|OA|=1,

得l=θ,sin =,

∴d=2sin =2sin ,

即d=f(l)=2sin (0≤l≤2π),它的图象为C.

6.D　由已知可得该函数的最小正周期为T=12,则ω==.

又当t=0时,A的坐标为,

∴此函数为y=sin,t∈[0,12].

故此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].

7.   答案　y=-4cost(t≥0)

解析　设y=Asin(ωt+φ),则从题表可以得到A=4,ω===,又由4sin φ=-4.0,可得sin φ=-1,取φ=-,故y=4sint-,即y=-4cos t(t≥0).

8.解析　(1)设种群数量y关于t的解析式为

y=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0),

则解得

又周期T=12,∴ω==,∴y=100sin+800.

又当t=6时,y=900,∴900=100sin+800,

∴sin(π+φ)=1,∴sin φ=-1,∴可取φ=-,∴y=100sin+800.

(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,

即当年3月1日动物种群数量约是750.

9.C　令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.

10.A　由已知得P点离水面的距离的最大值为17米,∴A=10,

又水轮每分钟旋转4圈,∴T==15,∴ω=.故选A.

11.解析　如图所示,α=45°,

所以1.5=,得sin β=,设AB=a,则BD=a,

在Rt△ABD中,AD=1,∴1+a2=a2,∴a2=,∴a=,

即光线在玻璃中的行程为 cm.

12.解析　(1)由题意可设函数解析式为y=Asin(ωt+φ).由题中数据表可知,位移的最大值为20 mm,即A=20;周期为0.6 s,即=0.6,解得ω=;再由t=0 s时的位移为-20 mm,可得sin φ=-1,解得φ=-.

所以振子的位移关于时间的函数解析式为y=20sin,t∈[0,+∞).

(2)作出函数一个周期的图象如下:

(3)由题中表格或图象可知,在一个周期内,当y=10 mm时,t=0.2 s或t=0.4 s,所以当位移为10 mm时t的取值集合为{t|t=0.2+0.6k或t=0.4+0.6k,k∈N}.

13.解析　(1)由①得f(x)的周期T==12,所以ω=;由②得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400;由③得f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,所以解得

又f(2)最小, f(8)最大,

所以由于0<|φ|<π,所以φ=-, 所以入住酒店的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200 sinx-+300(x∈N*,且1≤x≤12).

(2)由条件可知, 200sin+300≥400,化简得sin≥,所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因为x∈N*,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10. 即6月份,7月份,8月份,9月份,10月份要准备400份以上的食物.

能力提升练

一、选择题

1.A　当t=3时,12+3sint=15,符合题中的结果;12+3sin=9,不符合题中的结果,排除B选项;12+3sint=12+3×≠15,不符合题中的结果,排除C选项;

12+3sin=12+3×≠15,不符合题中的结果,排除D选项.故选A.

2.A　因为A(x,y),所以根据函数y=sin x(0≤x≤π)的图象的对称性可得B(π-x,y),故当x∈0,时,f(x)=π-2x;当x∈,π时,f(x)=2x-π,故选A.

二、填空题

3.答案　(rcos α,rsin α);y=rsin(ωt+α)

解析　如图,过点A作AD⊥x轴于点D.

则OA=r,∠AOx=α,所以OD=rcos α,DA=rsin α,

所以A点的坐标为(rcos α,rsin α).

由题意知,∠BOx=ωt+α,易知∠OBC=ωt+α.

因为OB=r,所以OC=OBsin∠OBC,所以y=rsin(ωt+α).

三、解答题

4.解析　(1)因为B,D的坐标分别是(12,20),(44,12),且DEF段与ABC段关于直线l:x=34对称,所以C(24,12),所以a=20-12=8,=24-12=12,

∴T=48,ω==,∵图象过C(24,12),

∴×24+φ=+2kπ,k∈Z,

∴φ=+2kπ,k∈Z,

又∵0<φ<π,∴φ=.

∴f(x)=8sin+20=8cosx+20,x∈[0,24].

(2)由题意得DEF段的解析式为

y=8cos+20,x∈[44,68].

由8cos+20=24,得x=60,60-44=16,

故买入60-44=16天后股价至少是买入价的两倍.