高中数学2.2 等差数列第2课时同步达标检测题

这是一份高中数学2.2 等差数列第2课时同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了∴m和n的等差中项是3，∴m=8等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( ).
A.2B.3C.6D.9
解析:∵由已知可得m+2n=8,2m+n=10,
∴3(m+n)=18,∴m+n=6.∴m和n的等差中项是3.故选B.
答案:B
2若等差数列{an}的公差为d,则数列{can}(c为常数,且c≠0)是( ).
A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列
C.不是等差数列D.以上都不对
解析:设bn=can,则bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd.
答案:B
3已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于( ).
A.12B.8C.6D.4
解析:∵a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8.∴m=8.
答案:B
4若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,则a75的值为 ( ).
A.12B.16C.24D.48
解析:∵{an}是等差数列,
∴a15,a30,a45,a60,a75成等差数列.
设其公差为D,则a60=a15+3D,即D=4,
故a75=a15+4D=8+4×4=24.
答案:C
5已知数列{an}是等差数列,若a1-a5+a9-a13+a17=117,则a3+a15= .
解析:a1-a5+a9-a13+a17=(a1+a17)-(a5+a13)+a9=a9=117,a3+a15=2a9=2×117=234.
答案:234
6在数列{an}中,a1,a12是方程x2-2x-5=0的两根,若{an}是等差数列,则a5+a8=_________________.
解析:由题意得a1+a12=2,
故a5+a8=a1+a12=2.
答案:2
7已知在数列{an}中,a5=10,a12=31,则其公差d= .
解析:d=a12-a512-5=31-107=3.
答案:3
8在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,求公差d的取值范围.
解设首项为a1,由题意,可知a1+4d=10,a1+11d>31,
解得d>3.所以d的取值范围是(3,+∞).
9已知三个数成等差数列,其和为15,首末两项的积为9,求这三个数.
解由题意,可设这三个数分别为a-d,a,a+d,
则(a-d)+a+(a+d)=15,(a-d)(a+d)=9,
解得a=5,d=4或a=5,d=-4.
所以,当d=4时,这三个数为1,5,9;
当d=-4时,这三个数为9,5,1.
所以这三个数为1,5,9或9,5,1.
10已知数列{an},an=2n-1,bn=a2n-1.
(1)求{bn}的通项公式;
(2)数列{bn}是否为等差数列?说明理由.
解(1)∵an=2n-1,bn=a2n-1,
∴bn=a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3.
(2){bn}是等差数列.理由如下:由bn=4n-3,知当n≥2时,bn-1=4(n-1)-3=4n-7.
∴bn-bn-1=(4n-3)-(4n-7)=4.
又b1=a1=2×1-1=1,
∴{bn}是首项b1=1,公差为4的等差数列.
能力提升
1设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于( ).
A.0B.37C.100D.-37
解析:∵{an},{bn}都是等差数列,
∴数列{an+bn}也是等差数列,设其公差为d,
则d=(a2+b2)-(a1+b1)=0.
∴数列{an+bn}为常数列.
∴a37+b37=a1+b1=100.
答案:C
2在如图所示的表格里,每格填上一个数字后使每一横行和竖列都成等差数列,则a等于( ).
A.3B.-3C.0D.6
解析:由于第一行成等差数列,则第一行中间数为2+62=4.又第二列成等差数列,则4+a=2×2,∴a=0.
答案:C
3如果在等差数列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于( ).
A.21B.30C.35D.40
解析:a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,
所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.
答案:C
4在等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则a6+a7+a8等于( ).
A.34B.35C.36D.37
解析:由题意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,
∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.
∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12.
∴a6+a7+a8=3a7=36.
答案:C
5若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为 .
解析:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.
答案:1或2
6若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{an}的前n项和最大.
解析:∵a7+a8+a9>0,∴3a8>0,∴a8>0.
∵a7+a10<0,∴a8+a9<0,∴a9<0.
∵公差d=a9-a8<0,
∴等差数列{an}是递减数列,其前8项为正项,
∴{an}的前8项和最大.
答案:8
★7已知在数列{an}中,a3=3,a7=1,又数列1an+1是等差数列,则an=______________.
解析:∵1an+1是等差数列,设bn=1an+1,
则b3=13+1=14,b7=11+1=12.
∴公差d=b7-b37-3=12-144=116.
∴bn=b3+116(n-3)=14+n16-316=n+116.
∴1an+1=n+116.
∴an+1=16n+1,an=16n+1-1=15-nn+1.
答案:15-nn+1
8已知1a,1b,1c成等差数列,且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.
证明∵1a,1b,1c成等差数列,∴2b=1a+1c,
∴2ac=ab+bc.∴-2ac=2ac-2b(a+c),
∴-2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2,
∴(a-c)2=(a+c)(a+c-2b).
∵a-c,a+c,a+c-2b都是正数,
∴2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).
∴lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)成等差数列.
★9设数列{an}是等差数列,bn=12an,且b1+b2+b3=218,b1b2b3=18,求通项公式an.
解∵b1b2b3=18,又bn=12an,
∴12a1·12a2·12a3=18.
∴12a1+a2+a3=18.
∴a1+a2+a3=3.
又{an}成等差数列,
∴a2=1,a1+a3=2.
∴b1b3=14,b1+b3=178.
∴b1=2,b3=18或b1=18,b3=2.
∴a1=-1,a3=3或a1=3,a3=-1.
设等差数列{an}的公差为d,
当a1=-1,a3=3时,d=2,
∴an=-1+2(n-1)=2n-3;
当a1=3,a3=-1时,d=-2,
∴an=3-2(n-1)=-2n+5.
综上所述,an=2n-3或an=-2n+5.