人教版新课标A必修52.2 等差数列第2课时同步达标检测题

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[A组 学业达标]
1．已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝4π，则cs a5的值为( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)
解析：因为{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝4π，
所以3a5＝4π，解得a5＝eq \f(4π,3).
所以cs a5＝cs eq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2).
答案：A
2．在等差数列{an}中，a3＋3a8＋a13＝120，则a3＋a13－a8＝( )
A．24 B．22
C．20 D．－8
解析：因为数列{an}为等差数列，
所以a3＋3a8＋a13＝5a8＝120，所以a8＝24，
所以a3＋a13－a8＝a8＝24.
答案：A
3．设e，f，g，h四个数成递增的等差数列，且公差为d，若eh＝13，f＋g＝14，则d等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：e，f，g，h四个数成递增的等差数列，且eh＝13，e＋h＝f＋g＝14，
解得e＝1，h＝13或e＝13，h＝1(不合题意，舍去)；
所以公差d＝eq \f(1,3)(h－e)＝eq \f(1,3)×(13－1)＝4.
答案：D
4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12 B．8
C．6 D．4
解析：由等差数列性质得，
a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)
＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
答案：B
5．若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是
( )
A．{λan}(λ为常数) B．{an＋bn}
C．{aeq \\al(2,n)－beq \\al(2,n)} D．{an·bn}
解析：等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λan＋1－λan＝λ(an＋1－an)＝λd为常数，则该数列为等差数列；
对于B，由an＋1＋bn＋1－an－bn＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝2d为常数，则该数列为等差数列；
对于C，由aeq \\al(2,n＋1)－beq \\al(2,n＋1)－(aeq \\al(2,n)－beq \\al(2,n))＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)
＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列；
对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，则该数列不为等差数列．
答案：D
6．在等差数列{an}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________.
解析：法一：d＝eq \f(a10－a5,10－5)＝eq \f(b－a,5)，
∴a15＝a10＋5d＝b＋5×eq \f(b－a,5)＝2b－a.
法二：∵a5，a10，a15成等差数列，∴a5＋a15＝2a10.
∴a15＝2a10－a5＝2b－a.
答案：2b－a
7．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则eq \f(x3－x1,y3－y1)＝________.
解析：∵a，x1，x2，x3，b成等差数列，∴其公差d1＝eq \f(b－a,4).又∵a，y1，y2，y3，y4，y5，b成等差数列，∴其公差d2＝eq \f(b－a,6).
∴eq \f(x3－x1,y3－y1)＝eq \f(2d1,2d2)＝eq \f(d1,d2)＝eq \f(b－a,4)×eq \f(6,b－a)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．已知等差数列{an}，a3＋a5＝10，a2a6＝21，则an＝________.
解析：设等差数列{an}的公差为d，因为等差数列{an}中，a3＋a5＝10，a2a6＝21，
所以a2＋a6＝a3＋a5＝10，
所以a2，a6是方程x2－10x＋21＝0的两个根，
解方程x2－10x＋21＝0，
得a2＝3，a6＝7或a2＝7，a6＝3，
当a2＝3，a6＝7时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝3，,a1＋5d＝7，))
解得a1＝2，d＝1，
此时an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
当a2＝7，a6＝3时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝7，,a1＋5d＝3，))
解得a1＝8，d＝－1，
此时an＝8＋(n－1)×(－1)＝－n＋9.
综上，an＝n＋1或an＝－n＋9.
答案：n＋1或－n＋9
9．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．
解析：显然a－4＜a＋2，
(1)若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.
(2)若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.
(3)若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.
10．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.
(1)求该数列中a2的值；
(2)求该数列的通项公式an.
解析：(1)由等差数列的性质可知，a1＋a3＝2a2，
所以a1＋a2＋a3＝3a2＝21，则a2＝7.
(2)依题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a3＝14，,a1·a3＝33，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝11，,a3＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,a3＝11，))
所以公差d＝eq \f(3－11,3－1)＝－4或d＝eq \f(11－3,3－1)＝4.
所以an＝11＋(n－1)×(－4)＝－4n＋15或an＝3＋(n－1)×4＝4n－1.
[B组 能力提升]
11．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A．1升 B．eq \f(67,66)升
C.eq \f(47,44)升 D.eq \f(37,33)升
解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an}，其首项为a1，公差为d，
由条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))所以a5＝a1＋4d＝eq \f(67,66).
答案：B
12．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
A．－182 B．－78
C．－148 D．－82
解析：a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33＝－82.
答案：D
13．在等差数列{an}中，若aeq \\al(2,2)＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________.
解析：因为等差数列{an}中，aeq \\al(2,2)＋2a2a8＋a6a10＝16，
所以aeq \\al(2,2)＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
所以(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，
所以2a4·2a6＝16，所以a4a6＝4.
答案：4
14．已知数列{an}满足a1＝0，数列{bn}为等差数列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，则a31＝________.
解析：因为数列{an}满足a1＝0，数列{bn}为等差数列，且an＋1＝an＋bn，b15＋b16＝15，
所以an＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，
所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋b30
＝eq \f(30,2)(b1＋b30)＝15(b15＋b16)＝15×15＝225.
答案：225
15．看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列．随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一．请用所学数学知识对此给出简要的说明．
解析：由题意，在等差数列中，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
因为12＝eq \f(4＋20,2)＝eq \f(5＋19,2)＝eq \f(6＋18,2)＝eq \f(11＋13,2)，
所以12＝eq \f(4＋20＋5＋19＋6＋18＋11＋13,8).
16．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq \f(3,2)，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；(2)通项an.
解析：(1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，
又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－eq \f(3,2)，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－eq \f(3,2)(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝eq \f(3,2)，
此时an＝a1＋(n－1)d＝eq \f(3,2)(n－3)．